1、基本不等式的应用A级基础巩固一、选择题1下列命题正确的是()A函数yx的最小值为2B若a，bR且ab0，则2C函数的最小值为2D函数y23x的最小值为24解析：A错误，当x0，所以0，0，且2；C错误，若运用基本不等式，需()21，x21无实数解；D错误，y2(3x)24.答案：B2已知x，则f(x)有()A最大值 B最小值C最大值1 D最小值1答案：D3已知a，bR，且ab3，则2a2b的最小值为()A6 BB4C2 D2解析：2a2b24.答案：B4(多选)已知函数f(x)(xR)的值域为m，)，则实数a与实数m的取值可能为()Aa0，m0 Ba1，m1Ca3，m3 Da，m解析：f(x)
2、x21，设x21t，t1，则yt.当a0时，yt在1，)上单调递增，t1时，y0，故y0，)，A项正确；当a1时，yt在1，)上单调递增，t1时，y1，故y1，)，B项正确；当a3时，yt在上单调递减，在上单调递增，故ymin2，C项错误；当a时，yt在1，上单调递增，t1时，y，故y，D项正确答案：ABD5已知不等式(xy)16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A1 B2C4 D6解析：(xy)4a，因为x0，y0，a0，所以24，当且仅当时取等号由已知可得4a416，即a4120，解得2或6(舍去)，所以a4，即a的最小值为4.答案：C二、填空题6已知函数f(x)4x(x0
3、，a0)在x3时取得最小值，则a_解析：因为x0，a0，所以f(x)4x24，当且仅当4x时，等号成立，此时a4x2，因为x3时函数取得最小值，所以a4936.答案：367若正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_解析：因为a，b为正数，所以abab323，所以(3)(1)0，所以3，所以ab9.答案：9，)8当x1时，不等式xa恒成立，则实数a的最大值为_解析：xa恒成立a，因为x1，即x10，所以xx112 13，当且仅当x1，即x2时，等号成立所以a3，即a的最大值为3.答案：3三、解答题9已知x，y0，且x2yxy30，求xy的范围解：因为x，y是正实数，故30x2yxy2xy，
4、当且仅当x2y，即x6，y3时，等号成立所以xy2300.令t，则t0，得t22t300，解得5t3.又t0，知00，y0，所以由基本不等式，得.因为2x5y20，所以10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.所以ulg xlg ylg(xy)lg 101.所以当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)因为x0，y0，所以，当且仅当时，等号成立由解得所以的最小值为.B级能力提升1某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为400平方米的三级污水处理池，如图所示，池外圈造价为每米200元，中间两条隔墙造价为每米250元，池底造价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池
5、无盖)若使水池的总造价最低，那么污水池的长和宽分别为()A.40米，10米 B20米，20米C30米，米 D50米，8米解析：设总造价为y元，污水池的长为x米，则宽为米，总造价y20022508040040032 000400232 00056 000(元)，当且仅当x，即x30时等号成立，此时污水池的宽为米答案：C2函数yloga(x3)1(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m，n0，则的最小值为_解析：函数yloga(x3)1(a0，a1)的图象恒过定点A(2，1)，且点A在直线mxny10上，所以2mn1，m，n0，所以(2mn)442 8，当且仅当即时等号成立答案：83.桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽约为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米(1)试用x表示S.(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值解：(1)由图形知，3a6x，所以a.则总面积Sa2aa1 832，即S1 832(x0)(2)由S1 832，得S1 83221 83222401 352.当且仅当，即x45时等号成立即当x为45米时，S最大，且S最大值为1 352平方米
