1、第 4 讲 直线、平面平行的判定与性质第七章 立体几何初步1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与_的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行线面平行)因为 la，a，l，所以 l这个平面内文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的_与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)因为 l，l，b，所以 lb交线2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条_与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)因为 a，b，abP，a，b，所以 性质定理如
2、果两个平行平面同时和第三个平面_，那么它们的_平行因为，a，b，所以 ab相交直线相交交线1辨明两个易误点(1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件(2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件2线面、面面平行的判定中所遵循的原则一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，不可过于“模式化”1(2017大连模拟)对于直线 m，n 和平面，若 n，则“mn”是“m”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件D2.教材习题
3、改编 下列命题为真的是()A若直线 l 与平面 有两个公共点，则 lB若，a，b，则 a 与 b 是异面直线C若，a，则 aD若 b，a，则 a 与 一定相交C 解析 A 错误直线 l 和平面有两个公共点，则 l.B 错误若，a，b，则 a 与 b 异面或平行 C 正确因为 a 与 无公共点，则 a.D 错误a 与 有可能平行故选 C.3.教材习题改编 如果直线 a平面，那么直线 a 与平面 内的()A一条直线不相交B两条直线不相交C无数条直线不相交D任意一条直线都不相交D 解析 因为 a平面，直线 a 与平面 无公共点，因此 a 和平面 内的任意一条直线都不相交，故选 D.4.教材习题改编
4、设 m，n 表示直线，、表示平面，则下列命题为真的是()Amn mn Bm mCm n nmnDmnmnC 解析 A 错误，因为 m 可能与 n 相交或异面 B 错误，因为 m 可能在 内 D 错误，m、n 可能异面相交，故选 C.线面平行的判定与性质(高频考点)平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题中高考对线面平行的判定及性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断线面的位置关系；(2)线面平行的证明；(3)线面平行性质的应用典例引领(2016高考全国卷丙)如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA底面 ABC
5、D，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点(1)证明 MN平面 PAB；(2)求四面体 N-BCM 的体积【解】(1)证明：由已知得 AM23AD2.取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 的中点知 TNBC，TN12BC2.又 ADBC，故 TN AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MNAT.因为 AT平面 PAB，MN平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)因为 PA平面 ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为12PA.取 BC 的中点 E，连接 AE，由 ABAC3，得 A
6、EBC，AE AB2BE2 5.由 AMBC，得 M 到 BC 的距离为 5，故 SBCM124 52 5.所以四面体 N-BCM 的体积 VN-BCM13SBCMPA2 4 53.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，a，aa)题点通关角度一 判断线面的位置关系1在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是 DD1 的中点，则 BD1与平面 ACE 的位置关系为_解析 如图，连接 AC，BD 交于 O 点，连接 OE，因为 OEBD1，而 O
7、E平面 ACE，BD1平面 ACE，所以 BD1平面 ACE.平行角度二 线面平行的证明2如图，四棱锥 P-ABCD 中 ADBC，ABBC12AD，E，F，H 分别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点(1)求证：AP平面 BEF；(2)求证：GH平面 PAD.证明(1)连接 EC，因为 ADBC，BC12AD，所以 BC AE，所以四边形 ABCE 是平行四边形，所以 O 为 AC 的中点 又因为 F 是 PC 的中点，所以 FOAP，FO平面 BEF，AP平面 BEF，所以 AP平面 BEF.(2)连接 FH，OH，因为 F，H 分别是
8、PC，CD 的中点，所以 FHPD，所以 FH平面 PAD.又因为 O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点，所以 OHAD，所以 OH平面 PAD.又 FHOHH，所以平面 OHF平面 PAD.又因为 GH平面 OHF，所以 GH平面 PAD.角度三 线面平行性质的应用3.如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证：APGH.证明 如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO，因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点，又 M 是
9、PC 的中点，所以 PAMO.又 MO平面 MBD，所以 PA平面 MBD.因为平面 PAHG平面 BMDGH，且 PA平面 PAHG，所以 APGH.面面平行的判定与性质典例引领 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：(1)B，C，H，G 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.【证明】(1)因为 GH 是A1B1C1 的中位线，所以 GHB1C1.又因为 B1C1BC，所以 GHBC，所以 B，C，H，G 四点共面(2)因为 E，F 分别为 AB，AC 的中点，所以 EFBC，因为 EF平面 BCHG，BC平面
10、BCHG，所以 EF平面 BCHG.因为 A1G EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形，所以 A1EGB.因为 A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG，所以 A1E平面 BCHG.因为 A1EEFE，所以平面 EFA1平面 BCHG.在本例条件下，线段 BC1 上是否存在一点 M 使得 EM平面A1ACC1?解 存在当 M 为 BC1 的中点时成立 证明如下：连接 EM，AC1(图略)，在ABC1 中，E，M 分别为 AB，BC1 的中点，所以 EM 12AC1，又 EM平面 A1ACC1，AC1平面 A1ACC1，所以 EM平面 A1ACC1.判定面面平行的方法(1)利用定义，即证两
11、个平面没有公共点(不常用)；(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系，并证明你的结论解(1)点 F，G，H 的位置如图所示(2)平面 BEG平面 ACH，证明如下：因为 ABCD-EFGH 为正方体，所以 BCFG，BCFG，又 FGEH，FGEH，所以 BCEH，BCEH，于
12、是四边形 BCHE 为平行四边形，所以 BECH.又 CH平面 ACH，BE平面 ACH，所以 BE平面 ACH.同理 BG平面 ACH.又 BEBGB，所以平面 BEG平面 ACH.平行关系的综合应用典例引领(2017洛阳月考)如图，ABCD 与 ADEF 为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的中点(1)求证：BE平面 DMF；(2)求证：平面 BDE平面 MNG.【证明】(1)如图，连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O，连接 MO，则 MO 为ABE 的中位线，所以 BEMO，又 BE平面 DMF，MO平面 DMF，所以 BE平面 DMF.(2)因为 N，
13、G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点，所以 DEGN，又 DE平面 MNG，GN平面 MNG，所以 DE平面 MNG.又 M 为 AB 中点，所以 MN 为ABD 的中位线，所以 BDMN，又 BD平面 MNG，MN平面 MNG，所以 BD平面 MNG，又 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线，所以平面 BDE平面 MNG.空间平行关系的转化平行关系之间的转化如图所示：在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不
14、可过于“模式化”如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，S 是 B1D1的中点，E、F、G 分别是 BC、DC、SC 的中点，求证：(1)直线 EG平面 BDD1B1；(2)平面 EFG平面 BDD1B1.证明(1)如图，连接 SB，因为 E、G 分别是 BC、SC 的中点，所以 EGSB.又因为 SB平面 BDD1B1，EG平面 BDD1B1，所以直线 EG平面 BDD1B1.(2)连接 SD，因为 F、G 分别是 DC、SC 的中点，所以 FGSD.又因为 SD平面 BDD1B1，FG平面 BDD1B1，所以 FG平面 BDD1B1，又 EG平面 EFG，FG平面 EFG，EGFG
15、G，所以平面 EFG平面 BDD1B1.立体几何中的探索性问题的求解方法 如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，D 是棱 CC1 的中点，问在棱 AB 上是否存在一点 E，使 DE平面 AB1C1？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由【解】点 E 为 AB 的中点时 DE平面 AB1C1，证明如下：法一：取 AB1 的中点 F，连接 DE、EF、FC1，因为 E、F 分别为 AB、AB1 的中点，所以 EFBB1 且 EF12BB1.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，DC1BB1 且 DC112BB1，所以 EF DC1，四边形 EFC1D 为平行四边形，所以 EDFC1
16、.又 ED平面 AB1C1，FC1平面 AB1C1，所以 ED平面 AB1C1.法二：取 BB1 的中点 H，连接 EH，DH，DE，因为 E，H 分别是 AB，BB1 的中点，则 EHAB1.又 EH平面AB1C1，AB1平面 AB1C1，所以 EH平面 AB1C1，又 HDB1C1，同理可得 HD平面 AB1C1，又 EHHDH，所以平面 EHD平面 AB1C1，因为 ED平面 EHD，所以 ED平面 AB1C1.(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行
17、推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成立”，“只需使成立”如图，在四棱锥 S-ABCD 中，已知底面 ABCD为直角梯形，其中 ADBC，BAD90，SA底面 ABCD，SAABBC2，tanSDA23.(1)求四棱锥 S-ABCD 的体积；(2)在棱 SD 上找一点 E，使 CE平面 SAB，并证明解(1)因为 SA底面 ABCD，tanSDA23，SA2，所以 AD3.由题意知四棱锥 S-ABCD 的底面为直角梯形，且 SAABBC2，VS-ABCD13SA12(BCAD)AB 13212(23)2103.(2)当点 E 位于棱 SD 上靠近 D 的三等分点处时，可使 CE平面 SAB.证明如下：取 SD 上靠近 D 的三等分点为 E，取 SA 上靠近 A的三等分点为 F，连接 CE，EF，BF，则 EF 23AD，BC 23AD，所以 BC EF，所以 CEBF.又因为 BF平面 SAB，CE平面 SAB，所以 CE平面 SAB.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放