1、成都市高2020级第一次诊断测试 数学文科满分: 150分 时间：120分钟一、单项选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合 A=x 1x 2, B=x x24 x+3 0 , 则A B= （ ）A.x 1x 3 B.x 10, b0) 的渐近线与圆 x2+ y24 y+3=0 相切, 则双曲线的离心率为_。15.已知平面向量 a, b, c 满足|a|=|b|=|ab|=1, c a=c b=1 , 则|c|= _16.已知函数 f(x)= sin2 xsinx+k, x 0, . 有下列结论：若函数 f(x) 有零点,
2、则k 的取值范围是, 14 ;若 k=14 , 则函数f(x) 的零点为6, 5 6 ;函数 f(x) 的零点个数可能为0,2,3,4 ;若函数 f(x) 有四个零点 x1, x2, x3, x4 , 则k 0, 14 , 且 x1+ x2+ x3+ x4=2 .其中所有正确结论的编号为_。三、解答题（本题共6道小题，共70分，写出必要的文字说明与演算步骤）17. （本题满分12分）成都作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，志愿服务时长超268万小时.2022年6月，成都22个市级部门联合启动了2022年成都市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到331个主
3、体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践、社区治理与邻里守望、环境保护等13大领域.已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评审打分, 并将专家评分(单位: 分)分成 6 组: 40,50),50,60), ,90,100 , 得到如图所示的频率分布直方图。（I） 求图中 m 的值;（II) 已知评分在 85,100 的队伍有 4 支, 若从评分在80,90) 的队伍中任选两支队伍, 求这两支队伍至少有一支队伍评分不低于 85 分的概率.18. （本题满分12分）记 A B C 的内角A, B, C 所对边分别为a, b, c . 已知ba=sinC+cosC .(
4、I) 求 A 的大小;(II) 若 2 2 sinB=3 sinC , 再从下列条件, 条件中任选一个作为已知, 求A B C 的面积. 条件:a sinC=2 ; 条件 :a c=2 10 .注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.19. （本题满分12分）如图, 在等腰直角三角形 A B C 中,A= 90, A B=2, D, E 分别是A C, B C 上的点, 且 满足D E / / A B . 将C D E 沿D E 折起, 得到如图所示的四棱锥PA B E D .(I) 若 D 为A C 的中点, 平面P D E 平面A B E D , 求四棱锥PA B E D 的体
5、积;(II) 设平面 A B P 平面D E P=l , 证明: l 平面A D P .20. （本题满分12分）已知椭圆 C: x2 a2+ y2 b2=1(ab0) 的左, 右焦点分别为 F1, F2 , 上顶点为D , 且D F1 F2 为等边三角形. 经过焦点 F2 的直线l 与椭圆C 相交于A, B 两点, F1 A B 的周长为 8 .(I) 求椭圆 C 的方程;(II) 求 F1 A B 的面积的最大值及此时直线l 的方程.21. （本题满分12分）已知函数 f(x)=lnx+a1, a R .（I) 若 f(x) x ,求a 的取值范围;（II) 当 a (0,1 时，证明:f
6、(x) (x1) ex ea .选做题（22题，23题选做1道小题，多做做错按第1题计分）22. （本题满分10分）在直角坐标系x O y中,圆心为A的圆 C1的参数方程为x=2+cost, y=sint (t为参数). 以坐 标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程为=22 cos.(I) 求圆 C1 的极坐标方程;(II) 设点 B 在曲线 C2上,且满足|A B|=3 , 求点B 的极径.23. （本题满分10分）已知 a, b 为非负实数, 函数f(x)=|x3 a|+|x+4 b| .(I) 当 a=1, b=12 时, 解不等式f(x) 7;(I
7、I) 若函数f(x)的最小值为6,求3 a+b 的最大值.参考答案及解析1. 【答案】C 【解析】略2. 【答案】A 【解析】z=3+i1+i=(3+i)(1i)(1+i)(1i) =2i 故选：A。3. 【答案】B 【解析】由题意可得, x2=2 y 焦点坐标在y 轴上, 且p=1 可得焦点坐标为 0, 12 综上所述，答案选择：B。4. 【答案】C 【解析】略5. 【答案】C 【解析】略6. 【答案】D 【解析】设该圆锥体的底面半径为 r , 母线长为l , 根据题意得：2 r=l l=2 r 所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是 r2: 12 l2= r2: 12( 2 r)2=1: 2
8、 故选：D。7. 【答案】B 【解析】略8. 【答案】D 【解析】略9. 【答案】B 【解析】略10. 【答案】C 【解析】略11. 【答案】A 【解析】略12. 【答案】D 【解析】略13. 【答案】13 【解析】略14. 【答案】2 【解析】略15. 【答案】2 33 【解析】略16. 【答案】 【解析】略17. 【解析】(I) 由 (0.004 2+0.022+0.030+0.028+m) 10=1 ，解得 m=0.012 .(II) 由题意知不低于 90 分的队伍有 50 0.04=2 支, 故评分在85,90) 的队伍有 2 支。评分在 80,90) 分的队伍有50 0.12=6 支
9、.记评分落在 80,85) 的 4 支队伍为 A1, A2, A3, A4 ; 评分落在85,90) 的 2 支队伍为 B1 , B2 .则从评分在 80,90) 的队伍中任选两支队伍的基本事件有: A1, A2, A1, A3, A1, A4 , A1, B1, A1, B2, A2, A3, A2, A4, A2, B1, A2, B2, A3, A4, A3, B1, A3 , B2, A4, B1, A4, B2, B1, B2 , 共 15 个.其中两支队伍至少有一支队伍评分不低于 85 分的基本事件有: A1, B1, A1, B2, A2 , B1, A2, B2, A3, B1
10、, A3, B2, A4, B1, A4, B2, B1, B2 , 共 9 个.故所求概率为 P 915=35 .18. 【解析】( I ) ba=sinC+cosC ,由正弦定理知 sinBsinA=sinC+cosC , 即sinB=sinA sinC+sinA cosC .在 A B C 中, 由B=(A+C) ,sinB=sin(A+C)=sinA cosC+cosA sinC=sinA sinC+sinA cosC cosA sinC=sinA sinC . C (0, ), sinC 0 sinA=cosA A (0, ), A=4 (II) 若选择条件, 由正弦定理 asinA
11、=csinC , 得a sinC=c sinA=22 c=2 .c=2 2 .又 2 2 sinB=3 sinC , 即2 2 b=3 c .b=3 . SA B C=12 b c sinA=12 3 2 2 sin4=3 .若选择条件, 由 2 2 sinB=3 sinC , 即2 2 b=3 c .设 c=2 2 m, b=3 m(m0) .则 a2= b2+ c22 b c cosA= 5 m2 . a=5 m .由 a c=2 10 , 得m=1 .a=5, b=3, c=2 2 SA B C=12 b c sinA=12 3 2 2 sin4=3 .19. 【解析】( I ) 由题意
12、得 D E A C, D E D P . 平面P D E 平面A B E D, P D 平面P D E ,平面 P D E 平面A B E D=D E, P D D E ,P D 平面A B E D .D 为A C 的中点,D A=D E=D P=1 VPA B E D=13 SA B E D D P=13 32 1=12 四棱锥PA B E D 的体积为12 .( II ) D E / / A B, D E / 平面P A B, A B 平面P A B ,D E / / 平面P A B .D E 平面P D E , 平面P D E 平面P A B=l ,D E / / l .由图 D E A
13、 C , 得D E D A, D E D P ,l D A, l D P D A, D P 平面A D P, D A D P=D ,X 平面A D P .20. 【解析】(I) 由 D F1 F2 为等边三角形,D F1=D F2=a , 得a=2 c (c 为半焦距).A F1+A F2=2 a,B F1+B F2=2 a , F1 A B 的周长为4 a=8 , 得a=2 .c=1, b= a2 c2=3 . 椭圆E 的方程为 x24+ y23=1 .(II) 由 (I) 知 F2(1,0) , 且直线l 斜率不为 0 .设直线 l: x=m y+1, A x1, y1, B x2, y2
14、 .由 x=m y+1, x24+ y23=1 消去 x , 得 3 m2+4 y2+6 m y9=0 .显然 =144 m2+10 . y1+ y2=6 m 3 m2+4 , y1 y2=9 3 m2+4 由 F1 A B 面积S=12 F1 F2 y1 y2= y1 y2 .而 y1 y2= y1+ y22 4 y1 y2= 6 m 3 m2+424 9 3 m2+4=12 m2+1 3 m2+4 .设 t= m2+1 1 , 则 y1 y2=12 t 3 t2+1=123 t+1t .y=3 t+1t 在1,+) 上单调递增, 当t=1 时, 3 t+1tmin=4 .即当 m=0 时,
15、S= y1 y2 取得最大值 3 , 此时直线l 的方程为x=1 .21. 【解析】(I) 记 g(x)=f(x)x=lnxx+a1 .则 g(x) 0 恒成立, 即g( x)max 0 . g(x)=1xx, g(x) 在(0,1) 上单调递增, 在(1,+) 上单调递减.g( x)max=g(1) 0 . 解得a 2 . 实数a 的取值范围是(, 2 .(II) 记 (x)=(x1) ex eaf(x)=(x1) ex ealnx+1a(x0) . (x)=x exa1x , (x) 在(0,+) 上单调递增.由 a (0,1 , 知 12=12 e12a20, (1)= e1a1 0 .
16、 x0 12, 1, x0=0 . 即 x0 e x0a=1 x0 . （*） 当x 0, x0, (x)0, (x) 单调递增.( x)min= x0= x01 e x0aln x0+1a . （*）由()式,可得 e x0a=1 x02 , x0a=2 ln x0 代入()式,得 x0= x01 x023 ln x0 x0+1 由 (I) 知, 当 a=2 时有lnx x1 , 故ln x0 1 x0 . x0 x01 x023 x01 x0+1= 1x0 2 x01 2 x0+1 x02 .由 x0 12, 1, x0 0 .故 (x) 0 , 即f(x) (x1) ex ea , 原不
17、等式得证.22. 【解析】(I) 由圆 C1 的参数方程消去参数t , 得圆 C1 的普通方程为( x2)2+ y2=1 , 圆心A(2,0) .( x2)2+ y2=1 , 圆心A(2,0) .把 x=cos, y=sin 代入( x2)2+ y2=1 ,化简得圆 C1 的极坐标方程为 24 cos+3=0 .(II) 由题意, 在极坐标系中, 点 A(2,0) . 点B 在曲线 C2 上, 设B(22 cos, ) .在 A O B 中, 由余弦定理有 A B2= O A2+ O B22 O A O B cosA O B ,即 3=4+( 22 cos)22 2(22 cos) cos .
18、化简得 12 cos2 16 cos+5=0 .解得 cos=12 或cos=56 故 =22 cos=1 或=22 cos=13 . 点B 的极径为 1 或13 .23. 【解析】(I) 当 a=1, b=12 时,f(x)=|x3|+|x+2| .当 x 2 时,f(x)=12 x 7 , 解得x 3 ;当 2x3 时,f(x)=5 7 , 此时无解;当 x 3 时,f(x)=2 x1 7 , 解得x 4 .综上, 不等式 f(x) 7 的解集为(,3 4,+) .(II) 由 f(x)=|x3 a|+|x+4 b| |x+4 b(x3 a)|=|3 a+4 b| , 当且仅当4 b x 3 a 时, 等号成立.a 0, b 0 f( x)min=|3 a+4 b|=3 a+4 b=6 由柯西不等式,得 3 a+b=1 3 a+12 4 b 12+ 122 3 a+4 b=302 .当且仅当 2=3 a4 b 时, 即a=85, b=310 等号成立.综上, 3 a+b 的最大值为302 .
