1、2014-2015学年广东省惠州一中高三（上）段考数学试卷一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1函数y=3x的反函数是（）A y=x3B y=C y=log3xD y=（）x2若f（x0）=2，则等于（）A 1B 2C 1D 3如图所示为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则|OA|OB|等于（）A B C D 无法确定4函数y=1+ax（0a1）的反函数的图象大致是（）A B C D 5函数f（x）=cosxsinx的图象相邻的两条对称轴之间的距离是（）A B C D 26函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）
2、在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）A 2个B 1个C 3个D 4个7如果二次函数y=2x2+（a1）x3，在区间（，1上是增函数，则（）A a=5B a=3C a5D a38在等差数列an中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A 40B 42C 43D 459若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y8=0垂直，则l的方程为（）A 4xy3=0B x+4y5=0C 4xy+3=0D x+4y+3=010定义集合运算：AB=zz=xy（x+y），xA，yB，设集合A=0，1，B=2，3，则集合AB的所有元素之和为（）A 0B 6C
3、12D 18二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上）11函数y=的定义域是12已知等比数列an中，a6=6，a9=9，则a3=13y=sin2（x）cos2（x）+1的周期是14关于函数f（x）=lg（x0，xR），有下列命题：函数y=f（x）的图象关于y轴对称；当x0时，f（x）是增函数，当x0时，f（x）是减函数；函数f（x）的最小值是lg2；当1x0或x1时，f（x）为增函数；f（x）无最大值，也无最小值其中正确命题的序号是 三.解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15求下列函数的导数：y=exlnx16已知函数f（x
4、）=2acos2x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（）=+（1）求a，b的值；（2）求f（x）的最大值与最小值；（3）若k，kz，且f（）=f（），求tan（+）的值17已知曲线y=和y=x2它们交于点P，过P点的两条切线与x轴分别交于A，B两点求ABP的面积18在等差数列an中，首项a1=1，数列bn满足bn=（），且b1b2b3=（1）求数列an的通项公式；（2）求a1b1+a2b2+anbn19已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在与x=1时都取得极值（1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围20设a为实数，设函数
5、的最大值为g（a）（）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（）求g（a）；（）试求满足的所有实数a2014-2015学年广东省惠州一中高三（上）段考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1函数y=3x的反函数是（）A y=x3B y=C y=log3xD y=（）x考点：反函数专题：函数的性质及应用分析：根据y=3x，y0，得出x=log3y，即函数y=3x的反函数y=log3x，x0解答：解：函数y=3x，y0x=log3y，函数y=3x的反函数y=log3x，x0故选：C点评：
6、本题考查了指数，对数函数的性质，反函数的概念，属于容易题2若f（x0）=2，则等于（）A 1B 2C 1D 考点：极限及其运算专题：极限思想分析：首先应该紧扣函数在一点导数的概念，由概念的应用直接列出等式，与式子对比求解解答：解析：因为f（x0）=2，由导数的定义即=2=1所以答案选择A点评：此题主要考查函数在一点导数的概念的应用，属于记忆理解性的问题，这类题目属于最基础性的3如图所示为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则|OA|OB|等于（）A B C D 无法确定考点：函数的图象；一元二次方程的根的分布与系数的关系专题：计算题分析：由函数图象我们可以分析出A，B分别是二次函数y=ax2+
7、bx+c的图象与X轴的交点，则|OA|OB|=|x1x2|=|，由图象开口朝下，得a0，由函数图象与Y轴的交点在X轴上方，得c0，代入根据绝对值的定义即可得到答案解答：解：由图易得：A，B分别是二次函数y=ax2+bx+c的图象与X轴的交点，则|OA|=|x1|，|OB|=|x2|又图象开口朝下，a0，又函数图象与Y轴的交点在X轴上方c0|OA|OB|=|OAOB|=|x1x2|=|=故选B点评：在高中阶段由于研究函数的角度与初中阶段相比有所变化，因此同样对二次函数来说，高中研究的主要是二次函数性质的应用，如单调性、对称性等，因此解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并注意和方程思
8、想、分类讨论思想、转化思想、数形结合思想等高中重要数学思想之间的紧密联系4函数y=1+ax（0a1）的反函数的图象大致是（）A B C D 考点：反函数专题：数形结合分析：从条件中函数式y=1+ax（0a1）中反解出x，再将x，y互换即得，然后再判断函数的图象解答：解：函数y=1+ax（0a1）的反函数为y=loga（x1），它的图象是函数y=logax向右移动1个单位得到，故选A点评：本题主要考查反函数的知识点，求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=（y）；（2）交换x=（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义
9、域）5函数f（x）=cosxsinx的图象相邻的两条对称轴之间的距离是（）A B C D 2考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法专题：计算题分析：把函数f（x）的解析式利用二倍角的正弦函数公式变形后，化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式T=中，求出函数的周期，解答：解：f（x）=cosxsinx=sin2x，=2，T=，则此函数图象相邻的两条对称轴之间的距离为=故选B点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的三角函数值是求函数周期的关键6函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的
10、图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）A 2个B 1个C 3个D 4个考点：利用导数研究函数的极值专题：导数的综合应用分析：如图所示，由导函数f（x）在（a，b）内的图象和极值的定义可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值解答：解：如图所示，由导函数f（x）在（a，b）内的图象可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值，在点B的左侧f（x）0，右侧f（x）0，且f（xB）=0函数f（x）在点B处取得极小值故选：B点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力，属于基础题7如果二次函数y=2x2+（a1）x3，在区间（，1上是增函数，则
11、（）A a=5B a=3C a5D a3考点：二次函数的性质专题：函数的性质及应用分析：由二次函数的解析式，我们易判断二次函数的开口方向及对称轴，结合函数在区间（，1上是增函数及二次函数的性质我们易判断区间（，1与对称轴的关系，进而构造出一个关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围解答：解：二次函数y=2x2+（a1）x3的图象是开口方向朝下，以直线x=为对称轴的抛物线，函数在区间（，1上是增函数则1，解得a5，故选：C点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中利用二次函数的性质构造出一个关于a的不等式，是解答本题的关键8在等差数列an中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+
12、a6等于（）A 40B 42C 43D 45考点：等差数列的性质专题：计算题分析：先根据a1=2，a2+a3=13求得d和a5，进而根据等差中项的性质知a4+a5+a6=3a5求得答案解答：解：在等差数列an中，已知a1=2，a2+a3=13，得d=3，a5=14，a4+a5+a6=3a5=42故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质属基础题9若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y8=0垂直，则l的方程为（）A 4xy3=0B x+4y5=0C 4xy+3=0D x+4y+3=0考点：导数的几何意义；两条直线垂直的判定分析：切线l与直线x+4y8=0垂直，可求出切线的斜率，这个斜率的值就是函
13、数在切点处的导数，利用点斜式求出切线方程解答：解：设切点P（x0，y0），直线x+4y8=0与直线l垂直，且直线x+4y8=0的斜率为，直线l的斜率为4，即y=x4在点P（x0，y0）处的导数为4，令y=4x03=4，得到x0=1，进而得到y0=1，利用点斜式，得到切线方程为4xy3=0故选：A点评：熟练应用导数的几何意义，考查两条直线垂直，直线的斜率的关系10定义集合运算：AB=zz=xy（x+y），xA，yB，设集合A=0，1，B=2，3，则集合AB的所有元素之和为（）A 0B 6C 12D 18考点：进行简单的合情推理分析：根据定义的集合运算：AB=zz=xy（x+y），xA，yB，将集
14、合A=0，1，B=2，3的元素代入求出集合AB后，易得答案解答：解：当x=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=6，当x=1，y=3时，z=12，故所有元素之和为18，故选D点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上）11函数y=的定义域是（，2考点：函数的定义域及其求法专题：函数的性质及应用分析：由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案解答：解：要使原函数有意义，则，即，解得：x2函数y=的定义域是（，2故
15、答案为：（，2点评：本题考查函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础题12已知等比数列an中，a6=6，a9=9，则a3=4考点：等比数列的性质专题：计算题分析：利用等比数列的性质可求其公比q3，利用等比中项的性质可求a3解答：解：an为等比数列，a6=6，a9=9，设其公比为q，（或者由a62=a3a9求a3）故答案为：4点评：本题考查等比数列的性质，考查学生观察与应用的能力，属于基础题13y=sin2（x）cos2（x）+1的周期是1考点：三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性，求得它的周期解答
16、：解：y=sin2（x）cos2（x）+1=cos2x+1 的周期为 =1，故答案为：1点评：本题主要考查二倍角的余弦公式，余弦函数的周期性，属于基础题14关于函数f（x）=lg（x0，xR），有下列命题：函数y=f（x）的图象关于y轴对称；当x0时，f（x）是增函数，当x0时，f（x）是减函数；函数f（x）的最小值是lg2；当1x0或x1时，f（x）为增函数；f（x）无最大值，也无最小值其中正确命题的序号是 考点：奇偶性与单调性的综合专题：综合题；压轴题分析：判断函数是否为偶函数即可将复合函数转化为两个基本函数，令t=（x0），易知在（0，1上是减函数，在1，+）上是增函数因为t=2（x0）
17、，再由偶函数，可知正确当1x0或x1时函数t=是增函数，再根据复合函数判断用来判断解答：解：定义域为R，又满足f（x）=f（x），所以函数y=f（x）的图象关于y轴对称，正确令t=（x0），在（0，1上是减函数，在1，+）上是增函数，不正确t=2，又是偶函数，所以函数f（x）的最小值是lg2，正确当1x0或x1时函数t=是增函数，根据复合函数知，f（x）是增函数，正确由知，不正确故答案为：点评：本题通过多个问题来考查函数复合函数的研究方法，涉及了函数的奇偶性，单调性，最值等，知识点，方法灵活，要细心耐心三.解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15求下列函
18、数的导数：y=exlnx考点：导数的运算专题：导数的概念及应用分析：根据函数积的导数的运算法则进行求导即可解答：解：函数的f（x）的导数f（x）=（ex）lnx+ex（lnx）=exlnx+ex点评：本题主要考查函数的导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础16已知函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（）=+（1）求a，b的值；（2）求f（x）的最大值与最小值；（3）若k，kz，且f（）=f（），求tan（+）的值考点：两角和与差的正切函数；三角函数中的恒等变换应用专题：三角函数的求值分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，由f
19、（0）=2，求得a，再由f（）=+，求得b的值（2）由（1）可得f（x）=sin（2x+）+1，再利用正弦函数的值域求得f（x）的最大值与最小值（3）由题意可得2+2+=2k+，kZ，求得+=k+，从而求得tan（+）的值解答：解：（1）函数f（x）=2acos2x+bsinxcosx=acos2x+sin2x+a，由f（0）=2a=2，可得a=1；由f（）=+b+a=+，求得b=2综上可得，a=1，b=2（2）由（1）可得f（x）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，故函数f（x）的最大值为+1，最小值为+1（3）k，kz，且f（）=f（），2+2+=2k+，kZ，求得+=k+
20、，tan（+）=1点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的值域，属于基础题17已知曲线y=和y=x2它们交于点P，过P点的两条切线与x轴分别交于A，B两点求ABP的面积考点：二次函数的性质专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：联立两曲线方程求出交点坐标P（1，1），把x=1分别代入两曲线的导函数中求两切线的斜率，从而写出过点P的两条切线方程，然后根据与x轴交点坐标的求法分别求出A、B的坐标可确定出三角形的底与高，利用三角形的面积公式即可求出解答：解：联立两曲线方程得，解得，所以切点P的坐标为（1，1），求出两曲线的导函数为y=和y=2x，把x=1分别代入两个导函数得到过p点切线
21、的斜率分别为：k1=1，k2=21=2，则两曲线在P点的切线方程分别为：y1=1（x1）即x+y2=0；y1=2（x1）即2xy1=0因为A、B是两切线与x轴的交点，所以令y=0，得到A（2，0），B（，0），则sABP=|2|1=点评：此题是把函数与方程综合在一起的题型，要求学生会利用导数求切线的斜率，以及会根据一点和斜率写出直线的方程，会求直线与x轴的截距18在等差数列an中，首项a1=1，数列bn满足bn=（），且b1b2b3=（1）求数列an的通项公式；（2）求a1b1+a2b2+anbn考点：数列的求和；等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：（1）设等差数列an的公差为d，
22、结合已知bn=（）及b1b2b3=列式求得d，则等差数列的通项公式可求；（2）设a1b1+a2b2+anbn=Sn，然后利用错位相减法求和解答：解：（1）设等差数列an的公差为d，bn=（），且b1b2b3=，则d=1an=1+（n1）1=n；（2）设a1b1+a2b2+anbn=Sn，则Sn=，两式作差得：=点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题19已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在与x=1时都取得极值（1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研
23、究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：（1）根据极值的意义，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可；（2）由（1）得，由于x1，2恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）c2列出不等式，求出c的范围即可解答：解：（1）f（x）=3x2+2ax+b（1分）由，f（1）=3+2a+b=0，得（4分），函数f（x）的单调区间如下表：x1（1，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是，（1，+），递减区间是；（7分）（2），当x=时，为极大值，f（1）=+c，f（2）=2+c，则2+c为最大值，（10分）要使f（x）c
24、2，x1，2恒成立，则只需要2+cc2，（12分）解得c1，或c2点评：本题考察了利用导数研究函数的极值，最值问题，是导数的应用问题，是一道中档题20设a为实数，设函数的最大值为g（a）（）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（）求g（a）；（）试求满足的所有实数a考点：函数最值的应用专题：计算题；压轴题；分类讨论分析：（I）先求定义域，再求值域由转化（II）求g（a）即求函数的最大值严格按照二次函数求最值的方法进行（III）要求满足的所有实数a，则必须应用g（a）的解析式，它是分段函数，必须分情况选择解析式进行求解解答：解：（I）要使有t意义，必须1+x0且1x0，即
25、1x1，t0t的取值范围是由得m（t）=a（）+t=（II）由题意知g（a）即为函数的最大值注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论（1）当a0时，函数y=m（t），的图象是开口向上的抛物线的一段，由0知m（t）在上单调递增，g（a）=m（2）=a+2（2）当a=0时，m（t）=t，g（a）=2（3）当a0时，函数y=m（t），的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即则若，即则若，即则g（a）=m（2）=a+2综上有（III）情形1：当a2时，此时，由，与a2矛盾情形2：当，时，此时，解得，与矛盾情形3：当，时，此时所以，情形4：当时，此时，解得矛盾情形5：当时，此时g（a）=a+2，由解得矛盾情形6：当a0时，此时g（a）=a+2，由，由a0得a=1综上知，满足的所有实数a为：，或a=1点评：本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力