1、第四十二讲抛物线一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay24By28xCy24x Dy28x解析：y2ax的焦点坐标为.过焦点且斜率为2的直线方程为y2，令x0得：y.4，a264，a8，故选B.答案：B2已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2 B3C. D.解析：如图所示，动点P到l2：x1的距离可转化为P到F的距离，由图可知，距离和的最小值
2、即F到直线l1的距离d2，故选A.答案：A3抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A4 B3C4 D8解析：抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线为l：x1，经过F且斜率为的直线y(x1)与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,2)，AKl，垂足为K(1,2)，AKF的面积是4.故选C.答案：C4若抛物线y24x的焦点是F，准线是l，则经过点F、M(4,4)且与l相切的圆共有()A0个 B1个C2个 D4个解析：经过F、M的圆的圆心在线段FM的垂直平分线上，设圆心为C，则|CF|CM|，又圆C与l相切
3、，所以C到l距离等于|CF|，从而C在抛物线y24x上故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆，故选C.答案：C5设F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若0，则等于()A9 B6C4 D3解析：设A、B、C三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，F(1,0)0，x1x2x33.又由抛物线定义知x11x21x316，故选B.答案：B6设抛物线y22x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|2，则BCF与ACF的面积之比等于()A. B.C. D.解析：由|BF|2小于点M到
4、准线的距离知点B在A、C之间，由抛物线的定义知点B的横坐标为，代入得y23，则B，另一种可能是，那么此时直线AC的方程为，即y，把y代入y22x，可得2x27x60，可得x2，则有y2，即A(2,2)，那么SBCFSACF|BC|AC|45，故选A.答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7已知抛物线型拱的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是_解析：设抛物线方程为x22py，将(4，2)代入方程得162p(2)，解得2p8，故方程为x28y，水面上升米，则y，代入方程，得x2812，x2.故水面宽4米答案：4米8点P
5、到A(1,0)和直线x1的距离相等，且点P到直线l：yx的距离等于，则这样的点P的个数为_解析：由抛物线定义，知点P的轨迹为抛物线，其方程为y24x，设点P的坐标为，由点到直线的距离公式，知，即y4y040，易知y0有三个解，故点P个数有三个答案：39已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点设|FA|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于_解析：抛物线C：y24x的焦点F(1,0)，准线方程：x1，如图，则直线AB的方程为yx1，由得x26x10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两根，x1x21，x132.根据抛物线定义，得|FA|x11
6、，|FB|x21(x1x2)，x132.答案：3210设x1、x2R，常数a0，定义运算“*”：x1x*a)的轨迹方程是_解析：由y，得y2x*a(xa)2(xa)24ax(y0)答案：y24ax(y0)三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11A、B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB.(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点；(3)求弦AB中点P的轨迹方程；(4)求AOB面积的最小值解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)(1)kOA，kOB.OAOB，kOAkOB1，x1x2y
7、1y20.y2px1，y2px2，y1y20.y10，y20，y1y24p2，x1x24p2.(2)y2px1，y2px2，(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，kAB.直线AB：yy1(xx1)yy1.y.y2px1，y1y24p2，y.y(x2p)AB过定点(2p,0)(3)如图，设OA：ykx，代入y22px得：x0或x，A.同理，以代k得B(2pk2，2pk)设中点坐标P(x0，y0)，.k222，22，即ypx02p2.中点P的轨迹方程为y2px2p2.(4)设M(2p,0)，SAOBSAOMSBOM|OM|(|y1|y2|)p(|y1|y2|)2p4p2，当且仅当|y1|y2|
8、2p时，等号成立评析：解决直线与抛物线的有关问题时要注意以下几点：设抛物线上的点为(x1，y1)，(x2，y2)；因为(x1，y1)，(x2，y2)都在抛物线上，故满足y2px1，y2px2；利用yy4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2.12是否存在同时满足下列条件的抛物线：准线是y轴；顶点在x轴上；点A(3,0)到该抛物线上的动点P的距离的最小值为2？如果存在，求出抛物线方程；如果不存在，说明理由解：设满足条件的抛物线存在，顶点B在x轴上设B(a,0)，以y轴为准线的抛物线方程为y24a(xa)，由条件知a0.设P是抛物线上的点，其坐标为.则|AP|22m2m212(aa2)212a
9、8a2，当aa20，即0a1，且m212(aa2)时，|AP|min.2，解得a1或a.此时抛物线方程为y24(x1)或y22.当aa21，且m0时，|AP|min|a3|2.a5，此时抛物线方程为y220(x5)，存在满足条件的抛物线，其方程为y24(x1)或y22或y220(x5)13(2010福建)已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由解：(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt，由得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.由直线OA与l的距离d可得，解得t1.因为1，1，所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m