1、55三角恒等变换55.1两角和与差的正弦、余弦与正切公式【素养目标】1能从教材探究思考中找出两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式(逻辑推理)2准确应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式进行三角变换(数学运算)3能用公式求值，求角，化简(数学运算)4能用公式证明三角恒等式(逻辑推理)【学法解读】在本节学习中，利用单位圆推导两角差的余弦公式，再借助两角差的余弦公式及诱导公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切及二倍角公式学生应熟练利用公式进行求值、化简，培养学生的逻辑推理及数学运算的素养第1课时两角差的余弦公式必备知识探新知基础知识知识点 两角差的余弦公式公式：！ cos()cos
2、_cos_sin_sin_ #.(1)简记符号：C()(2)适用条件：公式中的角，都是！ 任意角 #.思考：(1)公式写成cos()cossin或cos()coscossinsin可以吗？(2)公式的结构特征是怎样的？(3)公式中的角，可以为几个角的组合吗？提示：(1)不可以(2)左端为两角差的余弦，右端为角，的同名三角函数积的和，即差角余弦等于同名积之和(3)可以公式中，都是任意角，可以是一个角，也可以是几个角的组合基础自测1下列说法正确的个数是(B)对于任意角，都有cos()coscos.对于任意角，都有cos()coscos.存在角，使得cos()coscossinsin.当，为锐角时，
3、必有cos()coscos.A1 B2C3 D4解析错误，正确，故选B.2cos(3045)等于(D)ABCD解析cos(3045)cos30cos45sin30sin45.3cos45cos15sin45sin15(B)ABCD解析原式cos(4515)cos30.4cos43cos13sin43sin13的值为(C)ABCD解析原式cos(4313)cos30.关键能力攻重难题型探究题型一给角求值例1 (1)求值：cos15！#；(2)求值：sin7cos23sin83cos67！#；(3)计算：cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)！#.分析尝试逆用公式求解，非特殊角转
4、化为特殊角的差，然后正用C()进行求值解析(1)cos15cos(4530)cos45cos30sin45sin30.(2)原式cos83cos23sin83sin23cos(8323)cos60.(3)原式cos(35)(25)cos(60)cos60.归纳提升运用两角差的余弦公式求值的关注点(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记(2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值【对点练习】 求下列各式的值(1)cos40cos20sin40sin20；(2)coscossinsin.解析(1)原式cos(4020)cos60.(2)原式cos(2
5、)cos(2)sin()sin()coscossinsincos()cos.题型二给值求值例2(1)已知sin，sin，且180270，90180，则cos()！#；(2)已知sin()，且，求cos的值分析(1)求出cos，cos，利用公式进行求解；(2)利用coscos()进行凑角解析(1)180270，cos；又90180，cos；cos()coscossinsin()()().(2)，cos()，coscos()cos()cossin()sin.归纳提升(1)解决三角函数的给值求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示其解题策略有：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知
6、角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(2)常见的配角技巧：2()()，()，()()等【对点练习】 已知sin ，(，)，cos ，是第三象限角，求cos()的值解析由sin，(，)，得cos.又由cos，是第三象限角，得sin.所以cos()coscossinsin()()().题型三给值求角例3(1)已知为三角形的内角且cossin，则！#；(2)已知cos()，cos()，且(，)，(，2)，求角的值分析(1)由公式可求出cos()的值，再根据的范围确定的值(2)由条件可发现角与角之间的关系
7、：2()()，所以应先求出2的值，再求的值解析(1)cossincos().又0，.(2)由(，)，且cos()，得sin().由(，2)，且cos()，得sin().cos2cos()()cos()cos()sin()sin()()1.又因为(，2)，(，)，所以2(，)所以2，所以.归纳提升已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围(2)求所求角的某种三角函数值为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数(3)结合三角函数值及角的范围求角【对点练习】 已知sin()，cos()，0，求的大小解析sin()sin，0a，cos，又0，0，又cos()，sin()
8、.coscos()coscos()sinsin().又0，.课堂检测固双基1cos 20(B)Acos 30cos 10sin 30sin 10Bcos 30cos 10sin 30sin 10Csin 30cos 10sin 10cos 30Dcos 30cos10sin 30cos 10解析cos 20cos(3010)cos 30cos 10sin 30sin 10，故选B.2cos(85)cos(35)sin(85)sin(35)的值为(A)A BCD解析原式cos(85)(35)cos(120)cos 120cos 60，故选A.3已知sin ，(，)，则sin()！#.解析sin()cos()coscos sinsin .4sin()sincos()cos！ cos #.解析原式cos()cos()cos.5已知sin()，(，)，求sin()的值解析sin()cos，cos.又(，)，sin，sin()cos()cos()coscossinsin()().