1、第三章数系的扩充与复数的引入十六世纪，人们在讨论一元二次方程、一元三次方程的根时，为了研究问题的需要引入了复数复数是由意大利米兰学者卡当首先引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受高斯把复数与平面上的点一一对应使得复数与向量、解析几何、三角函数等密切联系起来复数有向量表示、三角表示，指数表示等，满足四则运算等性质它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具随着科学和技术的进步，复数理论不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力
2、，也为建立巨大水电站提供了重要的理论学习本章要注意感受人类理性思维在数系扩充中的作用3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1数系的扩充与复数的概念自主预习探新知情景引入某希望工程举行中学生夏令营，来到海滨城市青岛一天，张明与王华面对着广阔的大海，有一番耐人寻味的对话张明：海纳百川，心阔容海海、心孰大？王华：夸张的手法，不可比较张明：那么数m，n可否比较大小？王华：未必同学们，你能准确回答张明的问题吗？新知导学1数系扩充的脉络、原则脉络：自然数系整数系有理数系实数系_复数系_原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则：(1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集；(2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，
3、使原有的一些主要性质(如运算定律)_依然_适用；(3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系_保持不变_；(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾2对于方程x22x30，由于8，所以方程在实数范围内无解，若引入一个新的数i，使得i21，则此方程的解可写成x1_1i_，x2_1i_.3复数的定义：形如abi(a、bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2_1_.这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的_实部_与_虚部_.全体复数构成的集合叫做_复数集_.4复数相等的充要条件设a、b、c、d都是实数，那么abicdi_ac且bd_.5复数zabi(a、bR)，z0的充要条
4、件是_a0且b0_，a0是z为纯虚数的_必要不充分_条件6复数的分类(1)复数zabi(a、bR)，z为实数_b0_，z为虚数_b0_，z为纯虚数_.(2)集合表示：预习自测1(1)i的实部与虚部分别是(C)A1，B1，0C0,1D0，(1)i解析(1)i可看作0(1)iabi，所以实部a0，虚部b1.2若复数za232ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为_1或3_.解析由条件知a232a0，a1或a3.3若复数z(m1)(m29)i0，则实数m的值等于_3_.解析z0，m3.4实数m分别取什么数值时，复数z(m25m6)(m22m15)i(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4
5、)是0.解析由m25m60得，m2或m3，由m22m150得m5或m3.(1)当m22m150时，复数z为实数，m5或3；(2)当m22m150时，复数z为虚数，m5且m3.(3)当时，复数z是纯虚数，m2.(4)当时，复数z是0，m3.互动探究攻重难互动探究解疑命题方向复数的概念 典例1(1)给出下列三个命题：若zC，则z20；2i1虚部是2i；2i的实部是0.其中真命题的个数为(B)A0B1C2D3(2)(2020启东高二检测)已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是_，5_.(3)判断下列命题的真假若x，yC，则xyi12i的充要条件是x1，y2；若实数a
6、与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；实数集的补集是虚数集解析(1)对于，当zR时，z20成立，否则不成立，如zi，z210，所以为假命题；对于，2i112i，其虚部为2，不是2i，所以为假命题；对于，2i02i，其实部是0，所以为真命题(2)由题意得：a22，(2b)3，所以a，b5.(3)由于x，y都是复数，故xyi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故是假命题当a0时，ai0为实数，故为假命题由复数集的分类知，正确，是真命题规律总结判断与复数有关的命题是否正确的方法1举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后
7、肯定”的方法进行解答2化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为abi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部特别提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质跟踪练习1_给出下列说法：复数由实数、虚数、纯虚数构成；若复数z3m2ni，则其实部与虚部分别为3m,2n；在复数zxyi(x，yR)中，若x0，则复数z一定不是纯虚数；若aR，a0，则(a3)i是纯虚数其中正确的说法的序号是_.解析错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数错，只有当m，nR时，才能说复数z3m2ni的实部与虚部分别为3m,2n.正确，复数zxyi(x，yR)为纯虚
8、数的条件是x0且y0，只要x0，则复数z一定不是纯虚数错，只有当aR，且a3时，(a3)i才是纯虚数命题方向复数的分类及其应用典例2已知复数z(m22m)i，其中mR.试求当m为何值时，(1)z是实数？(2)z是虚数？(3)z是纯虚数？思路分析根据复数分类的标准及条件，建立关于实数m的方程或不等式(组)，求解m满足的条件解析(1)当z是实数时，应有0，即解得m4或2；(2)当z是虚数时，应满足0，即因此m4，且m2，且m0；(3)当z是纯虚数时，应满足解得m2.规律总结利用复数的分类求参数的方法及注意事项1利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式zabi(a，bR)，若不是这种形
9、式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解；2要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解；3要特别注意复数zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0，且b0.跟踪练习2_m取何实数时，复数z(m22m15)i.(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？解析(1)由条件得当m5时，z是实数(2)由条件得，当m5且m3时，z是虚数(3)由条件得当m3或m2时，z是纯虚数命题方向复数相等的条件典例3已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x10)iy3i，求x与y.思路分析因为y是纯虚数，所以可设ybi(bR，b0)代入等式，把等式的左、右两边都整理成abi的形式后，可利
10、用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b的值解析设ybi(bR且b0)代入(3x10)iy3i，整理得(3x10)ibi3i，由复数相等的充要条件得解得x，y4i.规律总结一般利用复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数复数相等是实现复数向实数转化的桥梁跟踪练习3_(1)若43aa2ia24ai，则实数a的值为(C)A1B1或4C4D0或4(2)已知复数z(a1)(a21)i，若z0，则实数a的值为_1_.解析(1)易知解得a4.(2)z0，解得a1.学科核心素养根据复数的大小求参数的值两个复数能比较大小时，这两个复数必为实数，
11、从而这两个复数的虚部为0.典例4如果(mn)(m23m)i1，求自然数m，n的值思路分析由虚数不能比较大小知本题中的(mn)(m23m)i必为实数，所以m23m0.故原不等式转化为(mn)1.解析(mn)(m23m)i1，m，nN，m0，n1或n2.规律总结已知两个复数的大小求参数值时，一般先由复数的虚部为0求得参数的值，再进一步检验复数的大小关系即可跟踪练习4_(1)已知复数zk23k(k25k6)i(kR)，且zz2的m值的集合是什么？使z1z2的m值的集合又是什么？解析(1)z0，zR.故复数的虚部k25k60，即(k2)(k3)0，k2或k3.k3时，z0，不符合题意k2时，z2z2时
12、，m值的集合为空集；当z1z2时，m值的集合为0易混易错警示对复数相关概念的理解不清致误典例5给出下列命题：(1)若xyi0，则xy0；(2)若abi38i，则a3，b8；(3)若x为实数，且(x24)(x22x)i是纯虚数，则x2；(4)若x，mR且3xmi0，则有x0.其中正确命题的序号是_(4)_.错因分析a，bR是复数代数形式定义中的必不可少的条件，忽视了这一条件，就会导致错误的答案正解命题(1)和(2)都是错误的，原因是没有x，yR，a，bR的限制条件，因此相应结论都是错误的；命题(3)也是错误的，事实上，当(x24)(x22x)i是纯虚数时，应有，所以x2；(4)是正确的，因为由3xmi0可得即x0.点评复数中的许多结论，都是建立在复数为标准的代数形式这一条件下的，如果没有这一条件，相应结论不一定能够成立例如：abi0ab0成立的条件是a，bR；abicdiac，bd成立的条件是a，b，c，dR.另外，复数zabi(a，bR)为纯虚数的条件是a0，且b0，切记不能丢掉“b0”这一条件