1、2014-2015学年广东省佛山一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知函数y=x2+1的图象上一点（1，2）及邻近一点（1+x，2+y），则等于（）A 2B 2xC 2+（x）2D 2+x2函数f（x）=x33x2+1是减函数的区间为（）A （2，+）B （，2）C （，0）D （0，2）3已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是（）A 10m/sB 9m/sC 4m/sD 3m/s4函数f（x）=x3+ax2+3x9，已知f（x）在x=3时取得极值，则a=（）
2、A 2B 3C 4D 55已知函数f（x）=ax3+3x2+2，若f（1）=4，则a的值等于（）A B C D 6如图是函数y=f（x）的导函数y=f（x）的图象，则下面判断正确的是（）A 在区间（2，1）内f（x）是增函数B 在（1，3）内f（x）是减函数C 在（4，5）内f（x）是增函数D 在x=2时f（x）取到极小值7曲线y=cosx（0x）与坐标轴围成的面积是（）A 4B 5C 3D 28如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为（）A 0.12 JB 0.18 JC 0.26 JD 0.28 J二填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9
3、曲线y=x2+x2在x=1处的切线方程为10函数y=x48x2+2在1，3上的最大值为11已知f（x）是偶函数，且=8，则12=13如图，阴影部分面积分别为A1、A2、A3，则定积分=14有下列四个结论，函数f（x）=|x|在x=0处连续但不可导；函数f（x）=x3的在x=0处没有切线某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，那么该婴儿从出生到第3个月的平均变化率大于从第6个月到第12个月的平均变化率；其中结论正确的为（填上所有结论正确的题目代号）三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15已知函数f（x）=x3+3x2+9x+a（）求f（x）的单调递减区间
4、；（）若f（x）在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值16物体A以速度v=3t2+1在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v=10t的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）17已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y3=0垂直（1）求实数a、b的值（2）若函数f（x）在区间m，m+1上单调递增，求m的取值范围18如图，酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm2/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，求水
5、面升高的瞬时变化率19已知函数f（x）=x3+2x2+x4，g（x）=ax2+x8（）求函数f（x）的极值；（）若对任意的x0，+）都有f（x）g（x），求实数a的取值范围20如图，已知曲线C1：y=x2与曲线C2：y=x2+2ax（a1）交于点O，A，直线x=t（0t1）与曲线C1，C2分别相交于点D，B，连结OD，DA，AB，OB（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式S=f（t）；（2）求函数S=f（t）在区间（0，1上的最大值2014-2015学年广东省佛山一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40
6、分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知函数y=x2+1的图象上一点（1，2）及邻近一点（1+x，2+y），则等于（）A 2B 2xC 2+（x）2D 2+x考点：变化的快慢与变化率分析：本题可根据导数的基本概念，结合题中条件进行分析即可解答：解：故选D点评：本题考查导数的基本概念和运算，结合题中条件分析即可2函数f（x）=x33x2+1是减函数的区间为（）A （2，+）B （，2）C （，0）D （0，2）考点：利用导数研究函数的单调性专题：计算题分析：求出f（x）令其小于0即可得到函数是减函数的区间解答：解：由f（x）=3x26x0，得0x2函数f（x）=x33x2+
7、1是减函数的区间为（0，2）故答案为D点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力3已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是（）A 10m/sB 9m/sC 4m/sD 3m/s考点：导数的运算专题：计算题分析：求出位移的导数；将t=3代入；利用位移的导数值为瞬时速度；求出当t=3s时的瞬时速度解答：解：根据题意，S=t+t3，则s=1+t2将t=3代入得s（3）=4；故选C点评：本题考查导数在物理中的应用：位移的导数值为瞬时速度4函数f（x）=x3+ax2+3x9，已知f（x）在x=3时取得极值，则a=（）A 2B 3C 4D 5考点：利用导数研究函数的极值专题：计算题
8、分析：因为f（x）在x=3是取极值，则求出f（x）得到f（3）=0解出求出a即可解答：解：f（x）=3x2+2ax+3，又f（x）在x=3时取得极值f（3）=306a=0则a=5故选D点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力5已知函数f（x）=ax3+3x2+2，若f（1）=4，则a的值等于（）A B C D 考点：导数的运算专题：导数的概念及应用分析：先计算f（x），再根据f（1）=4，列出关于a的方程，即可解出a的值解答：解：f（x）=ax3+3x2+2，f（x）=3ax2+6x，f（1）=3a6，已知f（1）=4，3a6=4，解得a=故选D点评：本题考查导数的运算，正确计算出f（x）是计
9、算的关键6如图是函数y=f（x）的导函数y=f（x）的图象，则下面判断正确的是（）A 在区间（2，1）内f（x）是增函数B 在（1，3）内f（x）是减函数C 在（4，5）内f（x）是增函数D 在x=2时f（x）取到极小值考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算专题：导数的综合应用分析：根据函数单调性，极值和导数之间的关系进行判断解答：解：由图象知当x2或x4时，f（x）0，函数为增函数，当3x或2x4时，f（x）0，函数为减函数，则当x=或x=4函数取得极小值，在x=2时函数取得极大值，故ABD错误，正确的是C，故选：C点评：本题主要考查函数单调性极值和导数的关系，根据图象确定函数的单调性是
10、解决本题的关键7曲线y=cosx（0x）与坐标轴围成的面积是（）A 4B 5C 3D 2考点：定积分在求面积中的应用专题：计算题分析：根据定积分的几何意义知，曲线y=cosx（0x）与坐标轴围成的面积等于cosx在0x上的积分值的代数和，即可求出答案解答：解：先作出y=cosx的图象，如图所示，从图象中可以看出=10（11）=3答案C故选C点评：本题主要考查余弦函数的图象和用定积分求面积的问题属基础题8如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为（）A 0.12 JB 0.18 JC 0.26 JD 0.28 J考点：平面向量数量积的运算专题：函数的性质及
11、应用分析：因为F=10N，l=10cm=0.1m，所以k=100，由此能求出在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，克服弹力所做的功解答：解：F=klF=10N，l=10cm=0.1mk=100在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm=0.06m处，克服弹力所做的功：w=Ep=kl2=100（0.06）2=0.18J故选：B点评：本题考查物体的弹力做功问题，是基础题解题时要认真审题，仔细解答二填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9曲线y=x2+x2在x=1处的切线方程为3xy3=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的概念及应用；直线与圆分析：欲求曲线y
12、=x2+x2在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决解答：解：y=x2+x2，f（x）=2x+1，当x=1时，f（1）=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，0）处的切线方程为：y0=3（x1），即3xy3=0故答案为：3xy3=0点评：本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题10函数y=x48x2+2在1，3上的最大值为11考点：函数的最值及其几何意义专题：函数的性质及应用分析：解法一：令t=x2，则t0，9，y=t2
13、8t+2，根据二次函数的图象和性质，可得当t=9时，函数的最大值为：11解法二：由y=x48x2+2可得y=4x（x216），据此分析函数的单调性，进而可得当x=3时，函数的最大值为：11解答：解法一：令t=x2，则t0，9，y=t28t+2，y=t28t+2的图象是开口朝上，且以直线x=4为对称轴的抛物线，故当t=9时，函数的最大值为：11解法二：y=x48x2+2，y=4x（x216），令y=0，则x=0，或x=2，当x1，0）时，y0函数为增函数，当x（0，2）时，y0函数为减函数，x（2，3时，y0函数为增函数，由f（0）=2，f（3）=11，可得当x=3时，函数的最大值为：11故答案
14、为：11点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，利用换元法将高次函数转化为低次函数容易理解和接受，但导数法更具有普便性11已知f（x）是偶函数，且=8，则16考点：定积分专题：计算题分析：解题的关键是利用被积函数是偶函数，得到66f（x）dx=206f（x）dx，从而解决问题解答：解：f（x）是偶函数66f（x）dx=206f（x）dx又06f（x）dx=8，66f（x）dx=16故答案为：16点评：本题主要考查了偶函数的性质、定积分及定积分的应用属于基础题12=考点：定积分专题：计算题分析：先利用降幂公式进行化简，再求出该函数的原函数，利用定积分的运算公式求解即可解答：解：cos2x
15、=，故答案为点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，属于基础题13如图，阴影部分面积分别为A1、A2、A3，则定积分=A1+A3A2考点：定积分在求面积中的应用专题：导数的综合应用分析：根据定积分的几何意义解答解答：解：因为在区间a，b上函数f（x）连续且恒有f（x）0时，定积分f（x）dx表示由直线x=a，x=b（ab），y=0和曲线y=f（x）所围成的曲边梯形的面积；所以由已知图形得到定积分=A1+A3A2；故答案为：A1+A3A2点评：本题考查了定积分的几何意义；在区间a，b上函数f（x）连续且恒有f（x）0，那么定积分f（x）dx表示由直线x=a，x=b（ab），y=0和
16、曲线y=f（x）所围成的曲边梯形的面积14有下列四个结论，函数f（x）=|x|在x=0处连续但不可导；函数f（x）=x3的在x=0处没有切线某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，那么该婴儿从出生到第3个月的平均变化率大于从第6个月到第12个月的平均变化率；其中结论正确的为（填上所有结论正确的题目代号）考点：命题的真假判断与应用专题：综合题；函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：根据函数的连续性与导数的定义，即可判断f（x）在x=0处连续且不可导；可以求出f（x）在x=0处的切线方程；根据图象求出该婴儿从出生到第3个月的平均变化率和从第6个月到第12个月的平均变化率；计算（x4）dx即可
17、解答：解：对于，函数f（x）=|x|=，结合函数的图象与导数的定义知，f（x）在x=0处是连续的，但在x=0的两侧，导数不相等，f（x）在x=0处不可导，正确；对于，函数f（x）=x3，f（x）=3x2，当x=0时，k=f（0）=0，f（x）在x=0处的切线方程为y=0，错误；对于，根据图象知，该婴儿从出生到第3个月的平均变化率为=1，从第6个月到第12个月的平均变化率为=0.4，该婴儿从出生到第3个月的平均变化率大于从第6个月到第12个月的平均变化率，正确；对于，（x4）dx=（x24x）=5245=7.5，错误综上，正确的命题序号是故答案为：点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考
18、查了导数与积分的简单应用问题，是综合性题目三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15已知函数f（x）=x3+3x2+9x+a（）求f（x）的单调递减区间；（）若f（x）在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题；压轴题分析：（I）先求出函数f（x）的导函数f（x），然后令f（x）0，解得的区间即为函数f（x）的单调递减区间；（II）先求出端点的函数值f（2）与f（2），比较f（2）与f（2）的大小，然后根据函数f（x）在1，2上单调递增，在2，1上单调递减，得到f（2）和f（1
19、）分别是f（x）在区间2，2上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间2，2上的最小值解答：解：（I）f（x）=3x2+6x+9令f（x）0，解得x1或x3，所以函数f（x）的单调递减区间为（，1），（3，+）（II）因为f（2）=8+1218+a=2+a，f（2）=8+12+18+a=22+a，所以f（2）f（2）因为在（1，3）上f（x）0，所以f（x）在1，2上单调递增，又由于f（x）在2，1上单调递减，因此f（2）和f（1）分别是f（x）在区间2，2上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=2故f（x）=x3+3x2+9x2，因此f（1）=1+392=7
20、，即函数f（x）在区间2，2上的最小值为7点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力16物体A以速度v=3t2+1在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v=10t的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）考点：定积分专题：应用题分析：此题是一个追击问题，A与B相隔5m即有SA=SB+5，设A追上B所用的时间为t0，利用定积分的方法求出t0，算出
21、SA即可解答：解：设A追上B时，所用的时间为t0，依题意有SA=SB+5即（3t2+1）dt=（10t）dt+5（t3+t）=5t20+5t0=5（s）SA=5t2+5=552+5=130（m）答；两物体5s相遇相遇时物体A的走过的路程是130m点评：此题考查学生利用定积分解决数学问题的能力17已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y3=0垂直（1）求实数a、b的值（2）若函数f（x）在区间m，m+1上单调递增，求m的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性专题：综合题；导数的概念及应用分析：（1）将M的坐标代
22、入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值（2）求出 f（x），令f（x）0，求出函数的单调递增区间，据题意知m，m+1（，20，+），列出端点的大小，求出m的范围解答：解：（1）f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），a+b又f（x）=3ax2+2bx，则f（1）=3a+2b，由条件知f（1）=9，即 3a+2b由、解得（2）f（x）=x3+3x2，f（x）=3x2+6x，令f（x）=3x2+6x0，得x0，或x2，若函数f（x）在区间m，m+1上单调递增，
23、则m，m+1（，20，+），m0，或m+12，即m0，或m3，m的取值范围是（，30，+）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的几何意义，考查方程思想与集合的包含关系，考查分析运算能力，属于中档题18如图，酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm2/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，求水面升高的瞬时变化率考点：实际问题中导数的意义专题：计算题；导数的概念及应用分析：作出如图的图象，建立起水面高h与时间t的函数关系，利用导数求出水面升高时的瞬时变化率即得到正确答案解答：解：由题意，如图，设t时刻水面高为h，水面圆半径是r，由图知=可得r=h，此时水的体积为r2
24、h=又由题设条件知，此时的水量为20t故有20t=，故有h=h=又当h=4时，有t=，故h=4时，h=当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是cm/s点评：本题考查变化的快慢与变化率，正确解答本题关键是得出高度关于时间的函数关系，然后利用导数求出高度为4时刻的导数值，即得出此时的变化率，本题是一个应用题求解此类题，正确理解题意很关键由于所得的解析式复杂，解题时运算量较大，要认真解题避免因为运算出错导致解题失败19已知函数f（x）=x3+2x2+x4，g（x）=ax2+x8（）求函数f（x）的极值；（）若对任意的x0，+）都有f（x）g（x），求实数a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最
25、值；利用导数研究函数的极值专题：导数的综合应用分析：（I）利用导数的运算法则即可得出f（x），分别解出f（x）=0和f（x）0和f（x）0即可得出其单调区间、极值；（II）设F（x）=f（x）g（x）=x3+（2a）x2+4，因此F（x）0在0，+）恒成立F（x）min0，x0，+）利用导数得出F（x），通过对a分类讨论，利用其单调性即可解答：解：（I）f（x）=3x2+4x+1，令f（x）=0，解得列表如下：x（，1）1f（x）+00+f（x）增函数极大值减函数极小值增函数当x=1时，f（x）取得极大值为4；当时，f（x）取得极小值为（II）设F（x）=f（x）g（x）=x3+（2a）x2+
26、4，F（x）0在0，+）恒成立F（x）min0，x0，+），若2a0，显然F（x）min=40，若2a0，F（x）=3x2+（42a）x，令F（x）=0，解得x=0或，当时，F（x）0；当x（0，+）时，即，当x=0时，F（x）=4满足题意综上所述a的取值范围为（，5点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论得出思想方法等是解题的关键20如图，已知曲线C1：y=x2与曲线C2：y=x2+2ax（a1）交于点O，A，直线x=t（0t1）与曲线C1，C2分别相交于点D，B，连结OD，DA，AB，OB（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式S=f（t）；（2
27、）求函数S=f（t）在区间（0，1上的最大值考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数最值的应用；定积分在求面积中的应用专题：计算题；导数的综合应用分析：（1）先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积，即可求得函数关系式S=f（t）；（2）由（1）确定了函数及其导数的解析式，解不等式f（x）0与f（x）0，可求出函数的单调区间，对字母a进行分类讨论，根据函数的单调性求出函数f（x）在区间（0，1上的最大值解答：解析（1）由解得或O（0，0），A（a，a2）又由已知得B（t，t2+2at），D（t，t2），S=（x2+2ax）dx
28、tt2+（t2+2att2）（at）=（x3+ax2）|t3+（t2+at）（at）=t3+at2t3+t32at2+a2t=t3at2+a2tS=f（t）=t3at2+a2t（0t1）（2）f（t）=t22at+a2，令f（t）=0，即t22at+a2=0解得t=（2）a或t=（2+）a0t1，a1，t=（2+）a应舍去若（2）a1，即a=时，0t1，f（t）0f（t）在区间（0，1上单调递增，S的最大值是f（1）=a2a+若（2）a1，即1a时，当0t（2）a时f（t）0当（2）at1时，f（t）0f（t）在区间（0，（2）a上单调递增，在区间（2）a，1上单调递减f（t）的最大值是f（2）a）=（2）a3a（2）a2+a2（2）a=a3点评：本题考查利用定积分求面积，考查导数在最大值、最小值问题中的应用，以及学生灵活转化题目条件的能力，属于中档题