1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第158页基础梳理1直线与圆的位置关系与判断方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系dr直线与圆相离(2)代数法：联立方程，消去x(或y)得一元二次方程，计算b24ac.0直线与圆相交；0直线与圆相切；0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解续表相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d0)的直线l被圆C：x2y22x4y40截得弦AB长为
2、4，若直线l唯一，则该直线的方程为_解析将圆C的方程化为标准方程(x1)2(y2)29，圆心C(1，2)，半径r3.又由题意可知，圆心C到直线l的距离为，所有满足题意的直线l为圆D：(x1)2(y2)25的切线又直线l唯一，点P在圆D上(t1)245.t2或t0(舍去)该切线方程为(21)(x1)(y2)(02)5，即直线l的方程为x2y20.答案x2y20(4)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若0，则点A的横坐标为_解析因为0，所以ABCD，又点C为AB的中点，所以BAD45.设直线l的倾斜角为，直线AB的
3、斜率为k，则tan 2，ktan 3，又B(5，0)，所以直线AB的方程为y3(x5)，又A为直线l：y2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得解得，所以点A的横坐标为3.答案3破题技法直线与圆位置关系的求解方法问题解题技巧图例直线与圆位置关系判断利用圆心到直线的距离d与半径r比较进行判断求弦长巧借垂径定理，利用|AB|2(d为弦心距，r为圆的半径)求解直线与圆相交所得弦长求切线方程(1)若点(x0，y0)在圆上，斜率存在时，先求点与圆心连线的斜率k，由切线与过切点、圆心的直线垂直的关系知切线的斜率为，由点斜式方程可求出切线方程(2)若点(x0，y0)在圆外，当斜率k存在时，设直
4、线方程为yy0k(xx0)，由圆心到直线的距离等于半径求出斜率，即可得出切线方程考点二圆与圆的位置关系挖掘利用圆与圆的关系求解/ 自主练透例(1)若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0相切，则m()A11B9C19 D.9或11解析依题意可得C1(0，0)，C2(3，4)，则|C1C2|5.又r11，r2，25m0，当两圆外切时，r1r215，解得m9，当两圆内切时，|r2r1|5，即|1|5，得6，解得m11.答案D(2)若圆O1：x2y25与圆O2：(xm)2y220相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是()A3 B4C2 D.8解析如图，连接O1A
5、、O2A，由于O1与O2在点A处的切线互相垂直，因此O1AO2A，所以O1OO1A2O2A2，即m252025，设AB交x轴于点C.在RtO1AO2中，sinAO2O1，在RtACO2中，ACAO2sinAO2O122，AB2AC4.故选B.答案B(3)已知圆C1：(x2a)2y24和圆C2：x2(yb)21只有一条公切线，若a，bR且ab0，则的最小值为()A2B4C8D9解析由题意可知，圆C1的圆心为(2a，0)，半径为2，圆C2的圆心为(0，b)，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以21，即4a2b21.所以(4a2b2)5529，当且仅当，且4a2b21，即a2，b2时
6、等号成立，所以的最小值为9.故选D.答案D破题技法1.判断两圆位置关系的方法几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法2两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解而两圆公共弦的方程就是将两圆方程相减，消去x2，y2后的方程考点三圆的综合问题挖掘1与圆有关的最值问题/ 自主练透例1已知实数x、y满足x2y24x10.(1)求的最大值与最小值；(2)求yx的最大值、最小值；(3)求x2y2的最大值、最小值解析(1)原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心，为半径
7、的圆的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.如图所示，当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为. (2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，如图所示，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)如图所示，x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.破题技法与圆有关的最值问题的几何转化法(1)形如形式的最值问题，可
8、转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题挖掘2直线与圆的综合问题/ 互动探究例2已知圆C经过点(2，4)，(1，3)，圆心C在直线xy10上，过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点(1)求圆C的方程；(2)请问是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由；(3)若12(O为坐标原点)，求直线l的方程解析(1)设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2，则依题意，得解得圆C的方程为(x2)2(y3)21.(2)为定值过点A(0，1)作直线AT
9、与圆C相切，切点为T，易得|AT|27，|cos 0|AT|27，为定值，且定值为7.(3)依题意可知，直线l的方程为ykx1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将ykx1代入(x2)2(y3)21并整理，得(1k2)x24(1k)x70，x1x2，x1x2，x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1812，即4，解得k1，又当k1时0，直线l的方程为yx1.破题技法与圆有关的参数范围问题常见思路(1)直接利用条件，画出几何图形，结合图形用几何法求参数的范围(2)根据位置关系列不等式组，用代数法求参数范围(3)构造关于参数的函数关系，借助函数思想求参数的范围挖掘3点圆的应用/ 互动探究例3求经过点M(3，1)且与圆C：x2y22x6y50相切于点N(1，2)的圆的方程解析圆C的方程可化为标准方程：(x1)2(y3)25，圆心为(1，3)由M、N可求出MN的中垂线方程为yx，圆心C和N所在直线方程为yx，联立解得圆心坐标为(，)，半径为 ，则圆的方程为(x)2(y)2.