1、2.2等差数列2.2.1等差数列第1课时等差数列学 习 目 标核 心 素 养1.理解等差数列的概念(难点)2掌握等差数列的通项公式及运用(重点、难点)3掌握等差数列的判定方法(重点)1.借助等差数列概念的学习，培养学生的数学抽象的素养2通过等差数列通项公式的求解与运用，提高学生的数学运算的素养.1等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差思考：等差数列的定义用符号怎么表示？提示anan1d(n2，d为常数)2等差中项如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项，且A.思考：任意两数都有等差
2、中项吗？提示是3等差数列的通项公式若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项ana1(n1)d思考：等差数列的通项公式是什么函数模型？提示d0时，一次函数，d0时，常值函数4等差数列的单调性等差数列an中，若公差d0，则数列an为递增数列；若公差d0，则数列an为递减数列1下列数列中不是等差数列的为()A6,6,6,6,6B2，1,0,1,2C5,8,11,14D0,1,3,6,10DA中给出的是常数列，是等差数列，公差为0；B中给出的数列是等差数列，公差为1；C中给出的数列是等差数列，公差为3；D中给出的数列第2项减去第1项等于1，第3项减去第2项等于2，故此数列不是等差数列2已知等差数列a
3、n中，首项a14，公差d2，则通项公式an_.62na14，d2，an4(n1)(2)62n.3方程x26x10的两根的等差中项为_3设方程x26x10的两根分别为x1，x2，则x1x26，所以x1，x2的等差中项为A3.等差数列的概念【例1】已知等差数列an的首项为a1，公差为d，在数列bn中，bn3an4，试判断bn是不是等差数列？思路探究可以利用a1和d写出bn的通项公式，也可以直接利用定义判断bn1bn是不是常数解法一：由题意可知ana1(n1)d(a1，d为常数)，则bn3an43a1(n1)d43a13(n1)d43dn3a13d4.由于bn是关于n的一次函数(或常数函数，当d0时
4、)，故bn是等差数列法二：根据题意，知bn13an14，则bn1bn3an14(3an4)3(an1an)3d(常数)由等差数列的定义知，数列bn是等差数列等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：an1and(常数)(nN)an为等差数列；(2)等差中项法：2an1anan2(nN)an为等差数列；(3)通项公式法：ananb(a，b是常数，nN)an为等差数列但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法1数列an的通项公式an43n，则此数列()A是公差为4的等差数列B是公差为3的等差数列C是公差为3的等差数列D是首项为4的等差数列Can1an43(n1)(43n)3.an
5、是公差为3的等差数列等差中项及其应用【例2】(1)在1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列；(2)已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求p，q的值解(1)1，a，b，c,7成等差数列，b是1与7的等差中项b3.又a是1与3的等差中项，a1.又c是3与7的等差中项，c5.该数列为1,1,3,5,7.(2)由x13，得2pq3，又x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，即q1，将代入，得p1.三个数a，b，c成等差数列的条件是b(或2bac)，可用来进行等差数列的判定或有关等差
6、中项的计算问题如若证an为等差数列，可证2an1anan2(nN)2已知a，b，则a，b的等差中项为()ABCDA因为ab2，所以a，b的等差中项为.等差数列的通项公式及其应用探究问题1某市要在通往新开发的旅游观光风景区的直行大道上安装路灯，安装第1盏后，往后每隔50米安装1盏，试问安装第5盏路灯时距离第1盏路灯有多少米？你能用第1盏灯为起点和两灯间隔距离表示第n盏灯的距离吗？提示设第1盏路灯到第1盏路灯的距离记为a1，第2盏路灯到第1盏路灯的距离记为a2，第n盏路灯到第1盏路灯的距离记为an，则a1，a2，an，构成一个以a10为首项，以d50为公差的一个等差数列所以有a10，a2a1d05
7、050，a3a2da12d0250100，a4a3da13d0350150，a5a4da14d0450200，ana1(n1)d50n50，所以，第5盏路灯距离第1盏路灯200米，第n盏路灯距离第1盏路灯(50n50)米2第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出2016年8月在巴西里约热内卢举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？提示设第一届的年份为a1，第二届的年份为a2，第n届的年份为an，则a1，a2，an，构成一个以a11 896为首项，以d4为公差的等差数列，其通项公式为ana1(n1)d1 8964(
8、n1)4n1 892，即an4n1 892，由an2 016，知4n1 8922 016，所以n31.故2016年举行的奥运会为第31届已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的通项公式ana1(n1)d中，知道其中任何三个量，均可求得第四个量3在等差数列an中，能用a1，d两个基本量表示an，那么能否用an中任意一项am和d表示an?提示由ana1(n1)d，ama1(m1)d，两式相减可得：anam(nm)d，则anam(nm)d【例3】(1)在等差数列an中，已知a47，a1025，求通项公式an；(2)已知数列an为等差数列，a3，a7，求a15的值思路探究设出基本量a1，d利
9、用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式anam(nm)d求解解(1)法一：a47，a1025，则得an2(n1)33n5，通项公式an3n5(nN)法二：a47，a1025，a10a46d18，d3，ana4(n4)d3n5(nN)(2)法一：由得解得a1，d.a15a1(151)d14.法二：由a7a3(73)d，即4d，解得d.a15a3(153)d12.1应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想一般地，可由ama，anb，得求出a1和d，从而确定通项公式2若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用aman(mn)d较为简捷3401是不是等差
10、数列5，9，13，的项？如果是，是第几项？解由a15，d9(5)4，得这个数列的通项公式为an54(n1)4n1.由题意知，4014n1，得n100，即401是这个数列的第100项1本节课的重点是等差数列的定义、等差中项以及等差数列的通项公式，难点是等差数列的证明2掌握判断一个数列是等差数列的常用方法：(1)an1and(d为常数，nN)an是等差数列；(2)2an1anan2(nN)an是等差数列；(3)anknb(k，b为常数，nN)an是等差数列但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可3会灵活运用等差数列的通项公式解决问题由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要
11、知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另外一个量1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)如果一个无穷数列an的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列()(3)当公差d0时，数列不是等差数列()(4)若三个数a，b，c满足2bac，则a，b，c一定是等差数列()解析(1).由等差数列的概念可知(2).因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1.(3).因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列
12、为等差数列，事实上它是一类特殊的数列常数列(4).因为a，b，c满足2bac，即bacb，故a，b，c为等差数列答案(1)(2)(3)(4)2数列an的通项公式an2n5，则此数列()A是公差为2的等差数列B是公差为5的等差数列C是首项为5的等差数列D是公差为n的等差数列Aan1an2(n1)5(2n5)2，an是公差为2的等差数列3若5，x，y，z,21成等差数列，则xyz_.395，x，y，z,21成等差数列，y是5和21的等差中项也是x和z的等差中项，5212y，y13，xz2y26，xyz39.4若an是等差数列，a158，a6020，求a75的值解法一：因为an是等差数列，设公差为d，由a158，a6020，得解得所以a75a174d7424.法二：因为an为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列设这个等差数列的公差为d，则a15为首项，a60为第4项，所以a60a153d，即2083d，解得d4，所以a75a60d20424.法三：因为an是等差数列，设其公差为d因为a60a15(6015)d，所以d，所以a75a60(7560)d201524.