1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.1.2数列的递推公式(选学)学 习 目 标核 心 素 养1.理解递推公式的含义(重点)2掌握递推公式的应用(难点)3会求数列中的最大(小)项(易错点)1.通过数列递推公式的学习，培养学生的逻辑推理的素养2通过递推公式的应用学习，提升学生的数据分析的素养.1数列递推公式(1)两个条件：已知数列的第1项(或前几项)；从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式思考：由数列的递推公式能否求出数列的项？提示能，但是要逐项求2数列递推公式与通项公式的关系递推公式通
2、项公式区别表示an与它的前一项an1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式1已知数列an的第1项是1，第2项是2，以后各项由anan1an2(n3)给出，则该数列的第5项等于()A6B7C8D9C因为anan1an2(n3)且a11，a22.所以a3a2a1213，a4a3a2325，a5a4a3538.2已知非零数列an的递推公式为a11，anan1(n2)，则a4_.4依次对递推公式中的n赋值，当n2时，a22；当n3时，a3a23；当n4时，a4a34.3已知数列an中，a1，an11，则a5_.3因为
3、a1，an11，所以a21123，a31，a41，a5123.由递推关系写数列的项【例1】(1)已知数列an满足关系anan11an1(nN)且a2 0182，则a2 019()ABCD(2)已知数列an满足a11，an2an6，则a11的值为()A31B32C61D62(1)B(2)A(1)由anan11an1，得an1，又a2 0182，a2 019，故选B(2)数列an满足a11，an2an6，a3617，a56713，a761319，a961925，a1162531.由递推公式写出数列的项的方法：(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可(2)
4、若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an2an11.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an1.1已知数列an的第一项a11，以后的各项由公式an1给出，试写出这个数列的前5项解a11，an1，a2，a3，a4，a5.故该数列的前5项为1，.数列的最大(小)项的求法【例2】已知数列an的通项公式an(n1)n(nN)，试问数列an有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由解法一：an1an(n2)n1(n1)nn，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1a
5、n，故a1a2a3a11a12，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，即a9a10.法二：设ak是数列an的最大项则即整理得得9k10，所以k9或10，即数列an中的最大项为a9a10.求数列的最大(小)项的两种方法：一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项二是设ak是最大项，则有对任意的kN且k2都成立，解不等式组即可2已知数列an的通项公式为ann25n4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值解(1)由n25n40，解得1n4.nN，n2,3.数列中有两项是负
6、数(2)法一：ann25n42，可知对称轴方程为n2.5.又nN，故n2或3时，an有最小值，且a2a3，其最小值为225242.法二：设第n项最小，由得解这个不等式组，得2n3，n2,3，a2a3且最小，a2a3225242.数列的递推公式与通项公式的关系探究问题1某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列an，满足a120，an1an2，你能归纳出数列an的通项公式吗？提示由a120，an1an2得a2a1222，a3a2224，a4a3226，a5a4228，由以上各项归纳可知an20(n1)22n18.即an2n18(nN，n30)2在数列an中，a13，2，照此递推
7、关系，你能写出an任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘，你能得到什么结论？提示按照2可得2，2，2，2(n2)，将这些式子两边分别相乘可得222.则2n1，所以an32n1(nN)3在数列an中，若a13，an1an2，照此递推关系试写出前n项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？提示由an1an2得a2a12，a3a22，a4a32，anan12(n2，nN)，将这些式子两边分别相加得：a2a1a3a2a4a3anan12(n1)，即ana12(n1)，所以有an2(n1)a12n1(nN)【例3】设数列an是首项为1的正项数列，且an1an(nN
8、)，求数列的通项公式思路探究由递推公式，分别令n1,2,3，得a2，a3，a4，由前4项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用an1an反复迭代；或将an1an变形为进行累乘；或将an1an变形式1，构造数列nan为常数列解因为an1an.法一：(归纳猜想法)a11，a21，a3，a4，猜想an.法二：(迭代法)因为an1an，所以anan1an2a1，从而an.法三：(累乘法)因为an1an，所以，则，所以an.法四：(转化法)因为，所以1，故数列nan是常数列，nana11，所以an.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an1anf(n)或an1g(n)an，则可以分别通过累加或累乘
9、法求得通项公式，即：(1)累加法：当anan1f(n)时，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1求通项公式(2)累乘法：当g(n)时，常用ana1求通项公式3已知数列an中，a12，an1an3(nN)，写出这个数列的前5项，猜想an并加以证明解a12，a2a135，a3a238，a4a3311，a5a4314，猜想：an3n1.证明如下：由an1an3得a2a13，a3a23，a4a33，anan13.将上面的(n1)个式子相加，得ana13(n1)，所以an23(n1)3n1.1本节课的重点是数列递推公式的应用，难点是数列函数性质的应用及由递推公式求数列的通项公式2要掌握判
10、断数列单调性的方法，掌握求数列最大(小)项的方法3要会用数列的递推公式求数列的项或通项4要注意通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项()(2)有些数列可能不存在最大项()(3)递推公式是表示数列的一种方法()(4)所有的数列都有递推公式()解析(1).只需将项数n代入即可求得任意项(2).对于无穷递增数列，是不存在最大项的(3).
11、递推公式也是给出数列的一种方法(4).不是所有的数列都有递推公式例如 精确到1,0.1,0.01,0.001，的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41,1.414，就没有递推公式答案(1)(2)(3)(4)2已知数列an中，a11，则数列an的通项公式是()Aan2nBanCanDanCa11，a2，a3，a4，观察得an.3若数列an满足an12an1，且a816，则a6_.由an12an1，得an(an11)，a7(a81)，a6(a71).4已知数列an的第1项是2，以后的各项由公式an(n2,3,4，)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列an的通项公式解可依次代入项数进行求值a12，a22，a3，a4，a5.即数列an的前5项为2，2，.也可写为，.即分子都是2，分母依次加2，且都是奇数，所以an(nN)- 11 - 版权所有高考资源网