1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理学 习 目 标核 心 素 养1.掌握正弦定理及基本应用(重点)2会判断三角形的形状(难点)3能根据正弦定理确定三角形解的个数(难点、易混点)1.借助正弦定理的推导，提升学生的逻辑推理的素养2通过正弦定理的应用的学习，培养学生的数学运算的素养.1正弦定理2解三角形(1)一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？提示需要两角和一边或两边和其中一边的对角1在ABC中，已知a3，b5，sin A.则sin B()ABCD1
2、B由正弦定理可得，sin B，故选B2在ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B30，b2，则的值是()A2B3C4D6C由正弦定理可得4.3在ABC中，若，则B的大小为_45 由正弦定理知，sin Bcos B，B45.4在ABC中，_.0由于，所以0.已知两角及一边解三角形【例1】(1)在ABC中，已知c10，A45，C30，求a，b；(2)在ABC中，已知a8，B60，C75，求A，b，c解(1)法一：A45，C30，B180(AC)105.由得a10.sin 105sin 75sin (3045)sin 30cos 45cos 30sin 45，b2055.法二：设ABC外接
3、圆的直径为2R，则2R20.易知B180(AC)105，a2Rsin A20sin 4510，b2Rsin B20sin 1052055.(2)A180(BC)180(6075)45.由正弦定理，得b4.由，得c4(1)已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边1在ABC中，a5，B45，C105，求边c解由三角形内角和定理知ABC180，所以A180(BC)180(45105)30.由正弦定理，得ca555(
4、)已知两边及一边的对角解三角形【例2】在ABC中，分别根据下列条件解三角形：(1)a1，b，A30；(2)a，b1，B120.解(1)根据正弦定理，sin B.ba，BA30，B60或120.当B60时，C180(AB)180(3060)90，c2；当B120时，C180(AB)180(30120)30A，ca1.(2)根据正弦定理，sin A1.因为sin A1.所以A不存在，即无解已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一
5、(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论2已知ABC，根据下列条件，解三角形：(1)a2，c，C；(2)a2，c，A.解(1)，sin A.ca，CAA.B，b1.(2)，sin C.又ac，C或.当C时，B，b1.当C时，B，b1.利用正弦定理判断三角形的形状探究问题1已知ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助ABC的外接圆推导出正弦定理 提示如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则BCD90，BACBDC，在RtBCD中，BCBDsinBDC，所以a2Rsin A，即2R，同理2R，2R，所以2R.2根据正弦定理的特点，我
6、们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？提示利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形；(2)已知两角和其中一角的对边解三角形3由可以得到abcsin Asin Bsin C，那么由正弦定理还可以得到哪些主要变形？提示(1)，.(2)，.(3)asin Bbsin A，asin Ccsin A，bsin Ccsin B【例3】在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状思路探究A(BC)；边角转化，sin A，sin B，sin C.解法一：在ABC中，根据正弦定理：2R(R为ABC外接圆的半径)sin2Asin
7、2Bsin2C，222，即a2b2c2，A90，BC90，由sin A2sin Bcos C，得sin 902sin Bcos(90B)，sin2B.B是锐角，sin B，B45，C45，ABC是等腰直角三角形法二：在ABC中，根据正弦定理，得sin A，sin B，sin C(R为ABC外接圆的半径)sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，ABC是直角三角形且A90.A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos Csin Bcos Ccos Bsin C0，即sin(BC)0.BC0，即BCABC是等腰直角三角形依据条件中的边角关系判断三角形的形
8、状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解3已知方程x2(bcos A)xacos B0的两根之积等于两根之和，且a、b为ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状解设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得bcos Aacos B由正弦定理得2Rsin Bcos A2Rsin
9、Acos B(R为ABC外接圆的半径)，sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0.A、B为ABC的内角，0A，0B，ABsin BABab3要掌握正弦定理的三个应用：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角(3)判断三角形的形状4本节课的易错点有两处：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况(2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)正弦定理不适用于钝角三角形()(2)在ABC中，等式bsin Aasin B总能成立()(3)在ABC
10、中，若sin Asin B，则三角形是等腰三角形()解析(1).正弦定理适用于任意三角形(2).由正弦定理知，即bsin Aasin B(3).由正弦定理可知，即ab，所以三角形为等腰三角形答案(1)(2)(3)2在ABC中，若sin Asin B，则A与B的大小关系为()AABBABCABDA，B的大小关系不能确定A因为，所以.因为在ABC中，sin A0，sin B0，sin Asin B，所以1，所以ab，由ab知AB3已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，且满足，则ABC的形状是()A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形C由和正弦定理，可得，即tan Atan Btan C，所以ABC故ABC为等边三角形4在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，试判断ABC的形状解在ABC中，由正弦定理得，.又a2tan Bb2tan A，sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B2A2B或2A2B，即AB或AB.ABC为等腰三角形或直角三角形- 11 - 版权所有高考资源网