1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.3数学归纳法学 习 目 标核 心 素 养1.了解数学归纳法的原理(难点、易混点)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(重点、难点)1.通过数学归纳法定义的学习，体现了数学抽象的核心素养.2.通过数学归纳法的应用，培养学生的逻辑推理的核心素养.1数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)归纳递推：假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法思考：数学归
2、纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?提示不一定如证明n边形的内角和为(n2)180，第一个值n03.2数学归纳法的框图表示1下面四个判断中，正确的是()A式子1kk2kn(nN*)中，当n1时，式子的值为1B式子1kk2kn1(nN*)中，当n1时，式子的值为1kC式子1(nN*)中，当n1时，式子的值为1D设f(n)(nN*)，则f(k1)f(k)CA中，n1时，式子1k；B中，n1时，式子1；C中，n1时，式子1；D中，f(k1)f(k).故正确的是C.2如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n_成立答案23已知Sn，则S1_，S2_，S3_，S4_，猜想Sn
3、_.分别将1,2,3,4代入得S1， S2，S3，S4，观察猜想得Sn.用数学归纳法证明等式【例1】(1)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，“从k到k1”左端增乘的代数式为_(2)用数学归纳法证明：(nN*)(1)2(2k1)令f(n)(n1)(n2)(nn)，则f(k)(k1) (k2)(kk)，f(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)，所以2(2k1)(2)证明： 当n1时，成立假设当nk(nN*)时等式成立，即有，则当nk1时，即当nk1时等式也成立由可得对于任意的nN*等式都成立用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点：(1)弄清n取第
4、一个值n0时等式两端项的情况；(2)弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；(3)证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形.1求证：1 (nN*)证明当n1时，左边1，右边，所以等式成立假设nk(kN*)时， 1成立那么当nk1时，1，所以nk1时，等式也成立综上所述，对于任意nN*，等式都成立.归纳猜想证明【例2】已知数列，的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明解S1 ；S2 ；S3 ；S4 .可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3
5、n1.于是可以猜想Sn .下面用数学归纳法证明这个猜想(1)当n1时，左边S1 ，右边 ，猜想成立(2)假设当nk(kN*)时猜想成立，即 ，则当nk1时， ，所以，当nk1时猜想也成立根据(1)和(2)，可知猜想对任意nN*都成立(1)“归纳猜想证明”的一般环节(2)“归纳猜想证明”的主要题型已知数列的递推公式，求通项或前n项和由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在给出一些简单的命题(n1,2,3，)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题2数列an满足Sn2nan(Sn为数列an的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明解由a12a1，得a11
6、；由a1a222a2，得a2 ；由a1a2a323a3，得a3 ；由a1a2a3a424a4，得a4 .猜想an .下面证明猜想正确：(1)当n1时，由上面的计算可知猜想成立(2)假设当nk时猜想成立，则有ak ，当nk1时，Skak12(k1)ak1，ak1k1 (2k ) ，所以，当nk1时，等式也成立由(1)和(2)可知，an 对任意正整数n都成立.用数学归纳法证明不等式探究问题1你能指出下列三组数的大小关系吗？(1)n，(nN*)；(2)，(nN*，n1)；(3)，(nN*)提示(1)n；(2)；(3)，2，2.(2).(3)1 2k 1 .又1 k2k (k1)，即当nk1时，命题成
7、立由(1)和(2)可知，命题对所有的nN*都成立3用数学归纳法证明：11)证明(1)当n2时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当nk时，不等式成立，即1k，则当nk1时，有1kkk1，所以，当nk1时不等式成立由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立4用数学归纳法证明：12(n2)证明(1)当n2时，12，命题成立(2)假设nk时命题成立，即12.则当nk1时，12222.即当nk1时命题成立由(1)和(2)知原不等式在n2时均成立用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)g(k)，求证f(k1)g
8、(k1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法).具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当nk1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论.在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由nk到nk1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明1用数学归纳法证明1aa2an1(a1，nN*)，在验证n1成立时，左边计算所得的
9、项是()A1B1aC1aa2 D1aa2a3C当n1时，左边1aa111aa2，故C正确2用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从“nk”到“nk1”，左边需增添的代数式是()A(2k1)(2k2) B(2k1)(2k1)C(2k2)(2k3) D(2k2)(2k4)C当nk时，左边是共有2k1个连续自然数相加，即123(2k1)，所以当nk1时，左边共有2k3个连续自然数相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)所以左边需增添的代数式是(2k2)(2k3)故选C.3已知f(n)1(nN*)，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，由此推测，当n2时，有_答案f(2n)4用数学归纳法证明：.假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_从不等式结构看，左边nk1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边nk1时，式子为，即不等式为.5用数学归纳法证明：当n2，nN*时，.证明(1)当n2时，左边1，右边，n2时等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时等式成立，即，那么当nk1时，.当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)知，对任意n2，nN*，等式都成立- 12 - 版权所有高考资源网