1、2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率学 习 目 标核 心 素 养1.理解直线的倾斜角和斜率的概念(重点)2理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系(重点)3掌握过两点的直线的斜率公式(重点)4直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用(难点)1.通过直线的倾斜角与斜率的概念学习，培养数学抽象的核心素养2借助倾斜角与斜率的关系，提升数学运算的核心素养.1直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线思考1：如何判断点P(2,1)是否在直线yx1上？提示把点的坐标代入
2、方程，若满足方程，点就在直线上，反之，不在直线上2直线的斜率及斜率公式(1)斜率的定义一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率常用小写字母k表示，即ktan .(2)斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.当x1x2时，直线P1P2没有斜率(3)斜率的几何意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x轴正方向的倾斜程度3直线的倾斜角(1)倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)倾斜角的范围直线的倾斜角的取值范围为0180.(3
3、)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角思考2：直线的斜率与倾斜角是一一对应吗？提示不是，当倾斜角为90时，直线的斜率不存在1如图所示，直线l的倾斜角为()A30 B60 C120 D以上都不对C根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为3090120.2直线l过点M(，)，N(，)，则l的斜率为()AB1CDB根据题意，l的斜率为1.3斜率不存在的直线一定是()A过原点的直线B垂直于x轴的直线C垂直于y轴的直线D垂直于坐标轴的直线B只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90，斜率不存在4已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(2，9a)在同一条直线上，实数a的值为_2
4、或A、B、C三点共线，kABkBC，即，a2或.直线的倾斜角【例1】设直线l过坐标原点，它的倾斜角为，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A45B135C135D当0135时，倾斜角为45；当135180时，倾角为135D根据题意，画出图形，如图所示：因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当0135，l1的倾斜角为45；当135180时，l1的倾斜角为45180135.故选D.求直线的倾斜角的方法及两点注意1方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角2两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当
5、直线与x轴垂直时，倾斜角为90.注意直线倾斜角的取值范围是0180.1一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为(090)，则其倾斜角为 ()AB180C180或90D90或90D如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90.故选D.直线的斜率【例2】已知坐标平面内三点A(1,1)，B(1,1)，C(2，1)(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角；(2)若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围思路探究(1)利用k及ktan 求解；(2)先求出AC、BC的斜率，进而求出k的范围解(1)由斜率公式得kAB0，kB
6、C.kAC.倾斜角的取值范围是0180.又tan 00，AB的倾斜角为0.tan 60，BC的倾斜角为60.tan 30，AC的倾斜角为30.(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.1由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用公式ktan (90)解决2由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k(x1x2)求解3涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用斜率公式求解2已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点(1)求直线l的斜率k的取
7、值范围；(2)求直线l的倾斜角的取值范围解如图所示，由题意可知kPA1，kPB1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k1，或k1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，所以的取值范围是45135.斜率公式的应用探究问题1斜率公式k中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？提示斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k.2你能证明A(3，5)，B(1,3)，C(5,11)三点在同一条直线上吗？提示能因为A(3，5)，B
8、(1,3)，C(5,11)，所以kAB2，kBC2，所以kABkBC，且直线AB，BC有公共点B，所以A，B，C这三点在同一条直线上【例3】已知直线l过点M(m1，m1)，N(2m，1)(1)当m为何值时，直线l的斜率是1?(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90？思路探究求直线的斜率直线的斜率公式解(1)kMN1，解得m.(2)l的倾斜角为90，即l平行于y轴，所以m12m，得m1.1本例条件不变，试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围解由题意知，解得1m2.2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”，其他条件不变，结果如何？解(1)由题意知1，解得m2.(2)由题意知m1
9、3m，得m.直线斜率的计算方法1判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在2若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k(其中x1x2)进行计算1本节课的重点是理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，难点是掌握倾斜角与斜率的对应关系2本节课要重点掌握的规律方法(1)求直线倾斜角的方法(2)求直线斜率的方法(3)直线的倾斜角和斜率之间的关系3本节课的易错点是对直线倾斜角和斜率之间的对应关系理解不够透彻而致错.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法()(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应()(3)一个倾斜角不能确定一条直线()(
10、4)斜率公式与两点的顺序无关()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)错误除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度(2)错误倾斜角不是90的直线有且只有一个斜率和它对应(3)正确确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角.(4)正确斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换2若过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为45，则y等于()ABC1D1CkABtan 451，即1，y1.3如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为_k1k3k2设l1，l2，l3的倾斜角分别为1，2，3，则由图可知032901tan 30，tan 10，故k1k3k2.4已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值解由题意可知kAB2，kAC，kAD，所以k2，解得a4，b3，所以直线的斜率k2，a4，b3.