1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学 习 目 标核 心 素 养1掌握平面上两点间的距离公式和中点坐标公式(重点)2了解两点的距离公式及中点公式的推导方法(难点)3体会坐标法在几何中的作用(重点)4坐标法在证明几何问题中的应用(难点)1通过学习平面上两点间距离公式及中点坐标公式，培养数学运算的核心素养2借助平面上两点间距离公式及坐标公式及坐标法，提升逻辑推理的核心素养.两点间距离公式及中点公式1已知在平面直角坐标系中两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有d(A，B)|AB| .2已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点M(x，y)
2、是线段AB的中点，则有x，y.1已知A(1,2)，B(a,6)，且|AB|5，则a的值为()A4B4或2C2D2或4D5，解得a2或4.2以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形为_等腰三角形由题意|AB|，|AC|，|BC|，显然ABC为等腰三角形3.(1)如图，若A(1,1)，C(3,1)连线的中点为M1(x，y), 则x，y满足什么条件？(2)若B(3,4)，那么BC的中点M2的坐标是什么？答案(1)x1，y1(2).两点的距离公式的应用【例1】已知ABC三个顶点的坐标分别为A(a,0)，B(a,0)，C(0, a)求证：ABC是等边三角形解由两点的距离公式得|AB|2|
3、a|，|BC|2|a|，|CA|2|a|.|AB|BC|CA|，故ABC是等边三角形根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的1本例若改为：已知A(1，1)，B(3,5)，C(5,3)，试判断ABC的形状解d(A，B)2，d(A，C)2，d(B，C)2.所以|AB|AC|BC|，且显然三边长不满足勾股定理，所以ABC为等腰三角形中点公式的应用【例2】已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线交点为E(3,4)
4、，求另外两顶点C、D的坐标思路探究先分析点的关系，借助平行四边形的性质，尝试运用中点公式列方程组求解解设C点坐标为(x1，y1)，则由E为AC的中点得：得设D点坐标为(x2，y2)，则由E为BD的中点得得故C点坐标为(10,6)，D点坐标为(11,1)1本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质，依据中点公式列方程组求点的坐标的2中点公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时一般先根据几何概念，提炼出点之间的“中点关系”，然后用中点公式列方程或方程组求解2已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(0,0)，B(2,0)，D(1,3)，求顶点C的坐标解平行四边
5、形的对角线互相平分，平行四边形对角线的中点坐标相同设C点坐标为C(x，y)，则即C(3,3)坐标法的应用探究问题1如何建立平面直角坐标系？提示(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；(2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴；(3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴2建立不同的直角坐标系，影响最终的结果吗？提示不影响【例3】在ABC中，D为BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2|AD|2|BD|DC|.则ABC为()A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D以上都不对思路探究几何证明问题坐标法借助代数运算证明A如图所示，作AOBC
6、，垂足为O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)(bdc)因为|AB|2|AD|2|BD|DC|，所以b2a2d2a2(db)(cd)，所以(db)(bd)(db)(cd)，又因为db0，所以bdcd，即bc.所以|OB|OC|.又AOBC，故ABC为等腰三角形已知ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：|AM|BC|.解如图所示，以RtABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)因为点M是BC的中点，故点M的坐标为，即.由两点距
7、离公式得|BC|，|AM|.所以|AM|BC|.建立直角坐标系的常见技巧1对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值等类型的题目，可以建立恰当的平面直角坐标系，用坐标法将几何问题代数化，使复杂的逻辑思维转化为简单的代数运算，从而将复杂问题简单化2在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，但不能把任意点作为特殊点1本节课的重点是平面上两点间的距离公式和中点坐标公式，难点是坐标法在证明几何问题中的应用2学习本节课要掌握的规律方法(1)两点间的距离公式及应用，(2)中点坐标公式及其应用，(3)坐标法的应用3本节课的易错点是建立平面直角坐标系后点的坐标不能正确的写出1判断
8、下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)A，B两点的距离与A，B的顺序无关()(2)中点坐标公式中两点位置没有先后顺序()答案(1)(2)2已知A(8，3)，B(5，3)，则线段AB的中点坐标为()ABCDB由中点坐标公式可以求得3若x轴上的点M到原点与到点(5，3)的距离相等，则点M的坐标为_(3.4,0)设点M的坐标为(x,0)，由题意知|x|，即x2(x5)29，解得x3.4，故所求点M的坐标为(3.4,0)4已知矩形相邻两个顶点是A(1,3)，B(2,4)，若它的对角线交点在x轴上，求另外两顶点的坐标解设对角线交点为P(x,0)，则|PA|PB|，即(x1)2(03)2(x2)2(04)2，解得x5，所以对角线交点为P(5,0)所以xC2(5)(1)9，yC2033，即C(9，3)；xD2(5)(2)8，yD2044，所以D(8，4)所以另外两顶点的坐标为C(9，3)，D(8，4)- 7 - 版权所有高考资源网