1、山东师范大学附属中学2021届高三上学期第一次模拟考试数学试题（满分：150分 考试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 3. 已知，则的最大值为（ ）A. 2B. C. D. 4. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 5. 设，则（ ）A. B. C. D. 6. 某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医
2、疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（ ）A. 18种B. 24种C. 36种D. 72种7. 若幂函数的图象过点，则函数的递增区间为（ ）A. B. C. D. 8. 设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分；部分选对的得3分；有选错的得0分.9. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A. 的虚部为-1B. C. 为纯虚数D. 的共轭复数为10. 下列命题正确的是（ ）A
3、. “”是“”的必要不充分条件B. 命题“，”的否定是“，”C. 若，则D. 设，“”，是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件11. 关于的说法，正确的是（ ）A. 展开式中的二项式系数之和为2048B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D. 展开式中第6项的系数最小12. 如图直角梯形，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且，则（ ）A. 平面平面B. C. 二面角的大小为D. 与平面所成角的正切值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设
4、所选三人中男生人数为，则数学期望_.14. 如图，在正方体中，的中点为，的中点为，异面直线与所成的角是_.15. 在展开式中，的系数为_.16. 关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 据某市地产数据研究显示，2019年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的控制.（1）地产数据研究发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，试建立关于的回归方程；（2）若政府不调控，依此
5、相关关系预测12月份该市新建住宅销售均价.参考数据及公式：，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.18. 如图，在多面体中，四边形是矩形，四边形为等腰梯形，且，平面平面.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.19. 某新建公司规定，招聘的职工须参加不少于80小时的某种技能培训才能上班，公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示.（1）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；（2）从招聘职工（人数很多）中任
6、意选取3人，记为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，试求的分布列和数学期望和方差.20. 设.（1）求函数的单调区间；（2）若，且，求实数的取值范围.21. 如图，在三棱柱中，平面，点，分别在棱和棱上，且，为棱的中点.（）求证：；（）求二面角的正弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值.22. 已知函数（为自然对数的底数），直线是曲线在处的切线.（1）求，的值；（2）是否存在，使得在上有唯一零点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.数学检测题答案一、单项选择题1-5：CBACD6-8：CAA二、多项选择题9. ABC 10. BD 11. ACD 12. AC三、填空题13.
7、 2 14. 15. 80 16. 四、解答题17. 解析：（1），所以，.所以从3月份至7月份关于的线性回归方程为.（2）将代入回归方程得，所以预测12月份该市新建住宅的销售均价为1.52万元/平方米.18.（1），平面平面，平面平面，平面，取的中点记为，连接，四边形为平行四边形，即，在三角形中，所以.即.，平面，平面，.（2）.19. 解析：（1）依题意，培训时间在小时的人数为，在小时的人数为，故满足题意的概率估计为.（2）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，3，则随机变量的分布列为0123，.20. 解析：（1），当时，在上单调递增；当时，若，则，若，则，所以在上单调递增，在上单调递
8、减.综上，当时，函数在上单调递增当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）因为，所以，即恒成立，设在上为减函数，即恒成立.所以，即，设，当，单减，当，单增，所以.21.【详解】依题意，以为原点，分别以、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、.（）依题意，从而，所以；（）依题意，是平面的一个法向量，.设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得.，.所以，二面角的正弦值为；（）依题意，.由（）知为平面的一个法向量，于是.所以，直线与平面所成角的正弦值为.22. 解：（1）的导数为，由已知可得，解得，；（2）由（1）可知，则，令，则恒成立，在上单调递减，又，存在唯一的，使得，且当时，即，在上单调递增，在上单调递减，又当时，存在或2，在上有唯零点.