1、2022精编复习题（三十五）空间点、直线、平面之间的位置关系小题对点练点点落实对点练(一)平面的基本性质1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有()A4个B3个 C2个D1个解析：选A首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面2若直线上有两个点在平面外，则()A直线上至少有一个点在平面内B直线上有无穷多个点在平面内C直线上所有点都在平面外D直线上至多有一个点在平面内解析：选D根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内3.如图，l，A，B，C，且Cl，直线A
2、BlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必经过()A点A B点BC点C但不过点M D点C和点M解析：选D因为AB，MAB，所以M.又l，Ml，所以M.根据公理3可知，M在与的交线上同理可知，点C也在与的交线上4.如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有_条解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的棱有5条答案：5对点练(二)空间两直线的位置关系1已知异面直线a，b分别在平面、内，且c，那么直线c一定()A与a、b都相交B只能与a、b中的一条相交C至
3、少与a、b中的一条相交D与a、b都平行解析：选C如果c与a、b都平行，那么由平行线的传递性知a、b平行，与异面矛盾故选C.2已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解析：选B在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错3(2021兰州市高考实战模拟)
4、已知长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1AB，AD1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A.B. C.D.解析：选A如图，连接A1D，A1C1，由题易知B1CA1D，C1DA1是异面直线B1C与C1D所成的角，又AA1AB，AD1，A1D2，DC1，A1C12，由余弦定理，得cosC1DA1，故选A.4如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有_对解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行
5、故互为异面直线的有3对答案：35已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面，b平面，c.若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；若ab，则必有ac；若ab，ac，则必有.其中正确的命题有_(填写所有正确命题的序号)解析：中若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交，故正确；中平面平面时，若bc，则b平面，此时不论a，c是否垂直，均有ab，故错误；中当ab时，则a平面，由线面平行的性质定理可得ac，故正确；中若bc，则ab，ac时，a与平面不一定垂直，此时平面与平面也不一定垂直，故错误答案：6.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边A
6、B，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是_(填写所有正确说法的序号)EF与GH平行；EF与GH异面；EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；EF与GH的交点M一定在直线AC上解析：连接EH，FG(图略)，依题意，可得EHBD，FGBD，故EHFG，所以E，F，G，H共面因为EHBD，FGBD，故EHFG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上同理，点M在平面ACD上，点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上答案：7(2021武汉调研)在正四面体ABC
7、D中，M，N分别是BC和DA的中点，则异面直线MN和CD所成角的余弦值为_解析：取AC的中点E，连接NE，ME，由E，N分别为AC，AD的中点，知NECD，故MN与CD所成的角即MN与NE的夹角，即MNE.设正四面体的棱长为2，可得NE1，ME1，MN，故cosMNE.答案：8如图，在三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_解析：如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.M为AD的中点，MKAN，KMC(或其补角)为异面直线AN，CM所成的角ABACBDCD3，ADBC2，N为BC的中点，由勾股定理
8、易求得ANDNCM2，MK.在RtCKN中，CK .在CKM中，由余弦定理，得cosKMC，所以异面直线AN，CM所成的角的余弦值是.答案：大题综合练迁移贯通1.如图所示，A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则ACFG，EGBD，所以相交直线EF与EG所成的角，
9、即为异面直线EF与BD所成的角又因为ACBD，则FGEG.在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为45.2.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解：(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.3.如图所示，三棱柱ABC A1
10、B1C1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC2FB2.(1)当点M在何位置时，BM平面AEF?(2)若BM平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值解：(1)法一：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OMAC于点M.因为侧棱A1A底面ABC，所以侧面A1ACC1底面ABC.又因为EC2FB2，所以OMFBEC且OMECFB，所以四边形OMBF为矩形，BMOF.因为OF平面AEF，BM平面AEF，故BM平面AEF，此时点M为AC的中点法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ.因为EC2FB2，所以PE綊BF，所以PQAE，PBEF，所以PQ平面AFE，PB平面AEF，因为PBPQP，PB，PQ 平面PBQ，所以平面PBQ平面AEF.又因为BQ平面PBQ，所以BQ平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点(2)由(1)知，BM与EF异面，OFE(或MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角易求AFEF，MBOF，OFAE，所以cosOFE，所以BM与EF所成的角的余弦值为.