1、1.1.3四种命题间的相互关系自主预习探新知情景引入在商品大战中，广告成了一道美丽的风景线几乎所有的广告商都熟悉这样的命题变换艺术：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”初听起来，是几句赞美语，然而它的实际效果可大哩！原来这句话，变成等价命题就是“不拥有的人们不幸福”哪个家庭不希望幸福呢？掏钱买就是了瞧！商家就通过这样巧妙的命题变换达到了目的本节我们将学习命题的四种形式及其相互之间的关系新知导学四种命题的真假关系1在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是_逆否命题_.2两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性_没有关系_.3一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种
2、情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真_真_真_真_假_假_真_假_真_真假_假_假_假_假预习自测1设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是(D)A若方程x2xm0有实根，则m0B若方程x2xm0有实根，则m0C若方程x2xm0没有实根，则m0D若方程x2xm0没有实根，则m0解析一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论都加以否定，并且加以互换位置，故选D2命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是(D)A若q不正确，则p不正确B若q不正确，则p正确C若p正确，则q不正确D若p正确，则q正确解析其等价命题为原命题的否命题，“若p正确，则q正确”故选D3命题“若a3，
3、则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(B)A1B2C3D4解析易知原命题正确，则其逆否命题也正确，原命题的逆命题“若a6，则a3”不正确，其否命题也不正确，故选B4(山西太原20182019学年高二期末)命题“如果xy3，那么x1且y2”的逆否命题是_如果x1或y2，则xy3_.解析命题“如果xy3，那么x1且y2”的逆否命题是“如果x1或y2，则xy3”5命题“已知不共线向量e1、e2，若e1e20，则0”的等价命题为_已知不共线向量e1、e2，若，不全为0，则e1e20_，是_真_命题(填“真”或“假”)解析互为逆否的命题为等价命题，同真同假互动探究攻重难互动探究解疑
4、命题方向四种命题间的相互关系典例1下列四个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题；“若ab，则a2b2”的逆否命题；“若x3，则x2x60”的否命题；“对顶角相等”的逆命题其中真命题的个数是(B)A0B1C2D3规范解答中命题的否命题为“若xy0，则x，y不互为相反数”，易知为真命题中，当a2，b3时，a23，则x2x60”当x43时，x2x61646100，故它的否命题为假命题中命题的逆命题为“若两个角相等，则这两个角为对顶角”易知为假命题规律总结1.命题的四种形式中，哪个是原命题是相对的，不是绝对的2研究命题及其关系时，首先要将命题写成“若p，则q”形式，再依据相关概念作出判断跟踪
5、练习1_设原命题：若ab2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是(A)A原命题为真，逆命题为假B原命题为假，逆命题为真C原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题解析因为原命题“若ab2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a、b都小于1，则ab2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若ab2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1，则ab2”，是假命题，反例为a1.2，b0.3，故选A命题方向原命题与逆否命题的等价应用典例2判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集，则a0，即抛物
6、线与x轴有交点关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真解法二：先判断原命题的真假：a，x为实数，关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集，(2a1)24(a22)4a70，a2.原命题是真命题由原命题和它的逆否命题等价，知它的逆否命题为真命题跟踪练习2_求证：若ab6，则a，b中至少有一个不小于3.证明构造命题p：若ab6，则a，b中至少有一个不小于3，则其逆否命题为：若a，b都小于3，则ab6.而当a3，且b3时，必有ab6，所以逆否命题为真，从而原命题p为真命题学科核心素养 等价性命题在证明中的应用典例3求证：当a2b2c2时，a，b，c不可能
7、都是奇数思路分析可将要证明的问题看作一个命题，只需证明这个命题是真命题即可，若证明这个命题本身比较困难，则可以利用命题的等价性证明其逆否命题为真命题规范解答证明：构造命题p：若a2b2c2，则a，b，c不可能都是奇数该命题的逆否命题是：若a，b，c都是奇数，则a2b2c2.下面证明逆否命题是真命题由于a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，于是a2b2必为偶数，而c2为奇数，所以有a2b2c2，故逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题 规律总结正难则反思想的利用：我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题跟踪练习3_已知a、b、cR，证明：若abc1，则a、b、c中至少有一个小于.证明原命题的逆否命题为“已知a、b、cR，若a、b、c都大于或等于，则abc1”由条件a，b，c，三式相加得abc1，显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，即已知a、b、cR，若abc)小于()是都是至多有一个至多有n个至少有一个否定词语不等于()不大于()不小于()不是不都是至少有两个至少有n1个一个也没有