1、课时作业(十五)1已知双曲线1的焦点为F1，F2，弦AB过F1且在双曲线的一支上，若|AF2|BF2|2|AB|，则|AB|等于()A2aB3aC4a D不能确定答案C解析|BF2|BF1|2a，|AF2|AF1|2a，|BF2|AF2|BF1|AF1|4a|AB|4a.又|BF2|AF2|2|AB|，2|AB|AB|4a，|AB|4a.2与双曲线1有共同的渐近线，且经过A(3，2)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是()A8 B4C2 D1答案C解析双曲线一个焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长3双曲线1被点P(2，1)平分的弦所在的直线方程是()A8x9y7 B8x9y25C4x9y6 D不
2、存在答案D解析点P(2，1)为弦的中点，由双曲线的对称性知，直线的斜率存在，设直线方程为y1k(x2)，将yk(x2)1代入双曲线方程得(49k2)x29(2k4k2)x36k236k450，49k20，9(2k4k2)24(49k2)(36k236k45)，x1x24，解得k代入得0，b0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.答案B解析在RtMF1F2中，F1F2M90，MF1F230，|F1F2|2c，于是cos30，tan30，从而有|MF1|c ，|MF2|c，代入|MF1|MF2|2
3、a，得c2a，故e.6设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A3x4y0 B3x5y0C4x3y0 D5x4y0答案C解析设PF1的中点为M，由于|PF2|F1F2|，故F2MPF1，即|F2M|2a，在直角三角形F1F2M中，|F1M|2b，故|PF1|4b，根据双曲线的定义得4b2c2a，即2bac，即(2ba)2a2b2，即3b24ab0，即3b4a，故双曲线的渐近线方程是yx，即yx，即4x3y0.7中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x4y1
4、20上的等轴双曲线方程是()Ax2y28 Bx2y24Cy2x28 Dy2x24答案A解析令y0，则x4，即c4，又c2a2b2，ab，c22a2，a28.8(2018课标全国，理)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A. B3C2 D4答案B解析由已知得双曲线的两条渐近线方程为yx.设两渐近线夹角为2，则有tan，所以30.所以MON260.又OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MNON，如图所示在RtONF中，|OF|2，则|ON|.在RtOMN中，|MN|ON|tan2tan60
5、3.故选B.9已知双曲线方程为x2y24，过点A(3，1)作直线l与该双曲线交于M，N两点，若点A恰好为MN的中点，则直线l的方程为()Ay3x8 By3x8Cy3x10 Dy3x10答案A解析设M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则两式相减可得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.点A(3，1)恰为线段MN的中点，6(x1x2)2(y1y2)0，3，直线l的斜率为3，直线l的方程为y13(x3)，即3xy80.10已知倾斜角为的直线l被双曲线x24y260截得弦长|AB|8，以AB为直径的圆的方程为_答案(x12)2(y3)232或(x12)2(y3)232解析设
6、直线l的方程为yxb，由得3x28bx4b2600.令(8b)243(4b260)0，得b245.8|AB|x1x2|.解得b28145，b9.当直线方程为yx9时，圆的方程为(x12)2(y3)232.当直线方程为yx9时，圆的方程为(x12)2(y3)232.11过双曲线1(a0，b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为_答案2解析由题意知，ac，即a2acc2a2，c2ac2a20，e2e20，解得e2或e1(舍去)12已知曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点求实数k的取值范围；(2
7、)若l与C交于A，B两点，O是原点，且SOAB，求实数k的值解析(1)曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的解，代入整理，得(1k2)x22kx20.此方程必有两个不等的实根x1，x2，则解得当k且k1时，曲线C与直线l有两个不同的交点(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O到l的距离为h.直线l与y轴交于点D(0，1)，SOAB|AB|h|x1x2|x1x2|，(x1x2)2(2)2，即()28.解得k0或k.又k0，b0)的离心率为，且.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2y25上，求m的值解析(1)
8、由题意得解得所以b2c2a22.所以双曲线C的方程为x21.(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)由得x22mxm220(判别式0)所以x0m，y0x0m2m.因为点M(x0，y0)在圆x2y25上，所以m2(2m)25.故m1.14已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围解析(1)设双曲线方程为1(a0，b0)，由已知得a，c2，b1.故所求双曲线方程为y21.(2)将ykx代入y21，可得(1
9、3k2)x26kx90，由直线l与双曲线交于不同的两点得故k2且k22，得x1x2y1y22，而x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2(k21)k2，于是2，解此不等式得k23.由得k21，故k的取值范围为(1，)(，1)1直线yax1与双曲线3x2y21相交于A，B两点(1)求线段AB的长；(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？思路分析联立直线与双曲线的方程用“设而不求”的方法求解解析由得(3a2)x22ax20.由题意可得3a20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.(1)|AB|.(2)由题意知，OAOB，则x1
10、x2y1y20，x1x2(ax11)(ax21)0.即(1a2)x1x2a(x1x2)10，(1a2)a10，解得a1.即当a1时，以AB为直径的圆经过坐标原点2已知A：(x2)2y2，B：(x2)2y2，动圆P与A，B都外切(1)求动圆圆心P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；(2)若直线ykx1与(1)中的曲线有两个不同的交点P1，P2，求k的取值范围解析(1)设P的圆心为P(x，y)，半径为R，由题设，知|PA|R，|PB|R，|PA|PB|2，P的圆心轨迹是实轴长为2，焦点在x轴上，且焦距长为4的双曲线的右支，其方程为x21(x1)(2)由方程组消去y，得(3k2)x22kx40(x1)
11、直线与曲线有两个不同的交点，则有从而得2k.故k的取值范围为2k0，b0)的离心率为，A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在双曲线上，且x1x2.(1)若线段AB的垂直平分线经过Q(4，0)，且线段AB的中点坐标为(x0，y0)，试求x0的值；(2)双曲线上是否存在这样的点A，B，使得OAOB?解析(1)由e知ab，由A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，得x12y12a2，x22y22a2，得：(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，因为x1x2，则AB所在直线的斜率k，式两边同除以x1x2，得x0ky00，而AB的中垂线的方程为yy0(xx0)，即yy0(xx0)，将点(4，0)代入，得y0(4x0)，解得x02.(2)方法一：由题意知，双曲线的渐近线为yx.若A，B在双曲线同一支上，则OA，OB夹角小于；若A，B在双曲线不同支上，则OA，OB夹角大于.综上可知，双曲线上不存在点A，B，使得OAOB.方法二：假设存在满足条件的点A，B.设直线OA的方程为ykx，则|k|1，所以直线OB与双曲线无交点，故点B不可能在双曲线上，所以假设不成立，即双曲线上不存在点A，B使得OAOB.
