1、第 3 讲 命题及其关系、充分条件与必要条件第一章 集合与常用逻辑用语1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断_的陈述句叫做命题其中判断_的语句叫做真命题，判断_的语句叫做假命题真假为真为假2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有_的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性_相同没有关系3充分条件、必要条件与充要条件(1)“若 p，则 q”为真命题，记作：pq，则 p 是 q 的_条件，q 是 p 的_条件(2)如果既有 pq，又有 qp，记作：pq，则 p 是 q 的_条件，q 也是 p 的充要条件充分必要充要1辨明两个易误点
2、(1)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论(2)注意区别 A 是 B 的充分不必要条件(AB 且 B/A)，与 A的充分不必要条件是 B(BA 且 A/B)两者的不同2充要条件常用的三种判断方法(1)定义法：直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假(2)等价法：利用 AB 与BA，BA 与AB，AB 与BA 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若 AB，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 AB，则 A 是 B 的充要条件1.教材习题改编 命题：若 m0，则方程 x2xm
3、0 有实数根的逆否命题是()A若方程 x2xm0 无实数根，则 m0B若方程 x2xm0 无实数根，则 m0C若方程 x2xm0 有实数根，则 m0D若方程 x2xm0 有实数根，则 m0B 解析 根据命题“若 p，则 q”的逆否命题是“若q，则p”，故选 B.2.教材习题改编“x4”是“x22x30”的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件B 解析 因为 x22x30，所以该不等式的解集为x|x3，所以 x4x22x30.但 x22x30/x4，所以“x4”是“x22x30”的充分而不必要条件3.教材习题改编 命题 p 的逆命题为“奇函数的图象关于原点对称”
4、，则 p 为()A奇函数的图象不关于原点对称B若一个函数不是奇函数，则它的图象不关于原点对称C若一个函数的图象关于原点对称，则它是奇函数D若一个函数的图象不关于原点对称，则它不是奇函数C 解析 命题 p 为：若一个函数的图象关于原点对称，则它是奇函数，故选 C.4.教材习题改编 命题：“若一个三角形的两条边不相等，则这两 条 边 所 对 的 角 也 不 相 等”的 否 命 题 是_“若一个三角形的两条边相等，则这两条边所对的角也相等”5.教材习题改编 命题 p：x23x4，命题 q：x 3x4，则p 是 q 的_条件解析 当 x23x4 时，x1 或 4，当 x1 时，x 3x4不成立，即 p
5、/q.当 x 3x4时，x0，3x40，则 x23x4，即 qp，所以 p 是 q 的必要不充分条件 必要不充分 四种命题的相互关系及真假判断典例引领(1)原命题为“若anan12an，nN*，则an为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，真，真 B假，假，真C真，真，假D假，假，假A(2)若命题“正弦函数不是分段函数”，则()A其否命题是“正弦函数是分段函数”B其逆命题是“分段函数不是正弦函数”C其逆否命题是“分段函数是正弦函数”D以上都不正确D【解析】(1)anan12an，即 anan12an，则 an1an，所以an为递减数列，故原命题为真，
6、则其逆否命题也为真；若an是递减数列，则 an1an，所以 anan12an，所以anan121 且 y1，q：实数 x，y 满足 xy2，则 p 是 q 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A(2)给出下列命题：“数列an为等比数列”是“数列anan1为等比数列”的充分不必要条件；“a2”是“函数 f(x)|xa|在区间2，)上为增函数”的充要条件；“m3”是“直线(m3)xmy20 与直线 mx6y50 互相垂直”的充要条件；设 a，b，c 分别是ABC 三个内角 A，B，C 所对的边，若a1，b 3，则“A30”是“B60”的必要不充分条件其中真命题的序
7、号是_【解析】(1)若 x1 且 y1，则有 xy2 成立，所以 pq；反之由 xy2 不能得到 x1 且 y1.所以 p 是 q 的充分不必要条件(2)对于，当数列an为等比数列时，易知数列anan1是等比数列，但当数列anan1为等比数列时，数列an未必是等比数列，如数列 1，3，2，6，4，12，8显然不是等比数列，而相应的数列 3，6，12，24，48，96是等比数列，因此正确；对于，当 a2 时，函数 f(x)|xa|在区间2，)上是增函数，因此不正确；对于，当 m3 时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有 m3，也可能 m0.因此不正确；对于，由题意得basi
8、n Bsin A 3，若B60，则 sin A12，注意到 ba，故 A30，反之，当 A30时，有 sin B 32，由于 ba，所以 B60或 B120，因此正确综上所述，真命题的序号是.充要条件问题的常见类型及解题策略(1)充要条件的三种判断方法有定义法、集合法、等价转化法(见本讲要点整合)(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性(3)充要条件与命题真假性的交汇问题依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可 题点通关角度一 判断指定条件与结论之间的关系1(2016高考天津卷)设 x0，yR，则
9、“xy”是“x|y|”的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件C 解析 由 xy 推不出 x|y|，由 x|y|能推出 xy，所以“xy”是“x|y|”的必要而不充分条件 角度二 探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件2命题“对任意 x1，2)，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()Aa1 Ba1Ca4Da4D 解析 命题可化为x1，2)，ax2 恒成立因为 x1，2)，所以 x21，4)所以命题为真命题的充要条件为 a4.所以命题为真命题的一个充分不必要条件为 a4，故选 D.角度三 与命题的真假性相交汇命题3下列命题中真命题的个
10、数是()x2 是 x24x40 的充要条件；是 sin sin 的充分条件；ab 既不是 a2b2 的充分条件也不是必要条件A0B1C2D3D 解析 真，真，真故选 D.充分条件、必要条件的应用典例引领 已知 Px|x28x200，非空集合 Sx|1mx1m若 xP 是 xS 的必要条件，求 m 的取值范围【解】由 x28x200，得2x10，所以 Px|2x10，由 xP 是 xS 的必要条件，知 SP.则1m1m，1m2，1m10，所以 0m3.所以当 0m3 时，xP 是 xS 的必要条件，即所求 m 的取值范围是0，3若本例条件不变，问是否存在实数 m，使 xP 是 xS 的充要条件解
11、 若 xP 是 xS 的充要条件，则 PS，所以1m2，1m10，所以m3，m9，即不存在实数 m，使 xP 是 xS 的充要条件根据充要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象(2017 常德一中月考)若“x2x60”是“xa”的必要不充分条件，则 a 的最小值为_3解析 由 x2x60，解得 x3.因为“x2
12、x60”是“xa”的必要不充分条件，所以x|xa是x|x3的真子集，即 a3，故 a 的最小值为 3.等价转化思想在充要条件中的应用 已知条件 p：x22x30；条件 q：xa，且q 的一个充分不必要条件是p，则 a 的取值范围是()A1，)B(，1C1，)D(，3A【解析】由 x22x30，得 x1，由q 的一个充分不必要条件是p，可知p 是q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件 所以x|xax|x1，所以 a1.本题将“q 的一个充分不必要条件是p”转化为“q 是 p 的充分不必要条件”；将 p 与 q 之间的条件关系转化为相应集合间的包含关系，使抽象问题直观化、复杂问
13、题简单化，体现了等价转化思想的应用 1.给定两个命题 p、q.若p 是 q 的必要而不充分条件，则 p 是q 的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A 解析 由 qp 且p/q 可得 pq 且q/p，所以 p 是q 的充分而不必要条件2已知条件 p：xy2，条件 q：x，y 不都是1，则 p 是q 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A 解析(等价法)因为 p：xy2，q：x1，或 y1，所以p：xy2，q：x1，且 y1，因为qp 但p/q，所以q 是p 的充分不必要条件，即 p是 q 的充分不必要条件故选 A.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放