1、222直线方程的几种形式第1课时直线的点斜式方程和两点式方程1了解直线的方程的推导思想2理解截距的概念3掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式1直线的点斜式方程方程yy0k(xx0)由直线上一定点(x0，y0)及其斜率k确定，故把该方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式(1)当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是xx0(2)当k0时，直线l与y轴垂直，这时的方程可写为yy0(3)k表示的直线上缺少一个点P0(x0，y0)，yy0k(xx0)才表示整条直线l(4)经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可分为两类：斜率存在
2、时，直线的方程为yy0k(xx0)；斜率不存在时，直线的方程为xx02直线的斜截式方程如果一条直线通过点(0，b)，且斜率为k(如图)，则直线的点斜式方程为ybk(x0)整理，得ykxb这个方程叫做直线的斜截式方程，其中k为斜率，b叫做直线ykxb在y轴上的截距，简称为直线的截距这种形式的方程，当k不等于0时，就是一次函数的解析式3直线的两点式方程直线方程的两点式是，应用时应注意x1x2且y1y2若x1x2，则直线方程为xx1若y1y2，则直线方程为yy14直线的截距式方程若直线l在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则l的方程为1(a0，b0)这种形式的方程叫做直线的截距式方程直线在y轴上的截距
3、是直线与y轴交点的纵坐标，直线在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标1过点P(2，0)，斜率是3的直线的方程是()Ay3x2By3x2Cy3(x2) Dy3(x2)解析：选D代入点斜式方程得y03x(2)，即y3(x2)2过A(1，1)、B(0，1)两点的直线方程是()Ax BC Dyx答案：A3在x轴、y轴上的截距分别是2、3的直线方程为()A1 B1C1 D0答案：B4斜率是，在y轴上的截距是2的直线的斜截式方程为解析：代入斜截式方程得yx2答案：yx2直线的点斜式方程若直线l满足下列条件，求其直线方程(1)过点A(1，2)且斜率为1；(2)过点B(2，1)且与x轴平行；(3)过点C(7，
4、2)且与x轴垂直【解】(1)由直线的点斜式方程可得y2x1，即xy10(2)由于直线斜率为0，所以直线方程为y1(3)由于直线斜率不存在，所以直线方程为x7若把本例(1)的条件“斜率为1”换成“P(2，4)”，则结果如何？解：过点P(2，4)、A(1，2)的直线的斜率为kPA2，又因为直线过点A(1，2)所以直线方程为y22(x1)，即2xy0求直线的点斜式方程的方法步骤 已知在第一象限的ABC中，A(1，1)，B(5，1)，A60，B45，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边与BC边所在直线的方程解：(1)如图所示，因为A(1，1)，B(5，1)，所以ABx轴，所以AB边所在直线方程
5、为y1(2)因为A60，所以kACtan 60，所以直线AC的方程为y1(x1)，即xy10因为B45，所以kBCtan 1351，所以直线BC的方程为y1(x5)，即xy60直线的斜截式方程根据条件写出下列直线的斜截式方程(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150，在y轴上的截距是2；(3)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3【解】(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y2x5(2)由于倾斜角为150，所以斜率ktan 150，由斜截式可得直线方程为yx2(3)由于直线的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y
6、轴上的截距b3或b3，故所求直线方程为yx3或yx3求直线的斜截式方程的策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示(2)直线的斜截式方程ykxb中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k 已知直线l与直线l1：y2x6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为解析：由题意知，直线l的斜率为2，在y轴上的截距为6，所以直线l的方程为y2x6答案：y2x6直线的截
7、距式方程求过点A(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程【解】若直线l在两坐标轴上的截距不为0(或者说l不过原点)，则可设l的方程为1由已知过点A(4，1)，所以1，解得a5所以l的方程为1，即xy50若直线l在两坐标轴上的截距为0(或者说l过原点)，则可设l的方程为ykx因为l过点A(4，1)，所以14k所以k所以l的方程为yx，即x4y0综上所述，直线的方程为xy50或x4y0利用截距式求直线方程的策略及注意点(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式求直线方程，用待定系数法确定其系数即可(2)选用截距式求直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直如果
8、题中出现直线在两 坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”等条件时，采用截距式求直线方程，要注意考虑“零截距”的情况1直线l1：ykxb(kb0)，直线l2：1在同一坐标系中的图象可能是()解析：选D因为kb0，由四个选项中的l1可知k0，可排除A、C；当b0时，选项D符合题意2过点(1，2)且斜率为3的直线的截距式方程为解析：由点斜式得y23(x1)，即3xy50，即1答案：1直线的两点式方程已知ABC三个顶点的坐标分别为A(1，3)，B(2，3)，C(4，0)求AB所在直线的方程【解】法一：由两点式可得直线AB的方程为，即2xy10法二：直线AB的斜率为kAB2由点斜式可得y32(x1)所
9、以直线AB的方程为2xy10求直线的两点式方程的策略及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程 (2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系已知直线l经过两点A(1，0)，B(m，1)，求直线l的方程解：当m1时，直线l的方程是，即x(m1)y10；当m1时，直线l的方程为x1直线方程几种形式的比较方程名称确定条件直线方程局限性点斜式已知一点P0(x0，y0)和斜率kyy0k(xx0)不能表示与x轴垂直
10、(即斜率不存在)的直线斜截式已知斜率k和在y轴上的截距bykxb不能表示与x轴垂直(即斜率不存在)的直线两点式已知两点A(x1，y1)、B(x2，y2)及x1x2，y1y2不能表示与坐标轴垂直的直线，即直线斜率不存在或斜率为0时，不能用两点式截距式已知直线在x轴、y轴上的截距分别是a、b1不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线1确定直线方程需要两个条件，如点斜式需要直线斜率与直线上一点坐标；斜截式需要直线斜率与直线在y轴上的截距；两点式需要直线上两点坐标；截距式需要直线在两坐标轴上的截距无论使用哪一种直线方程形式，都应明确其限制条件2应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确设
11、直线方程的截距式时，应注意不要漏掉过原点的直线，设直线方程的点斜式时，应注意不要漏掉斜率不存在的直线1直线的点斜式方程yy0k(xx0)()A可表示任何一条过(x0，y0)的直线B不能表示过原点的直线C不能表示与x轴垂直的直线D不能表示与y轴垂直的直线解析：选C直线的点斜式方程不能表示没有斜率的直线，也就是不能表示与x轴垂直的直线2过点M(4，3)和N(2，1)的直线方程是()Axy30Bxy10Cxy10Dxy30解析：选B由两点式得，整理得xy103已知直线l：ykxb经过第二、三、四象限，则k与b的符号是答案：k0，b0时，斜率a0，在y轴上的截距0，则直线yax过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a0时，斜率a0，在y轴上的截距0，0，得1k0由已知得(2k2)1，整理得2k25k20，解得k2或k，因为1k0，b0)，由AOB的周长为12知，ab12又因为过点P，所以1由AOB的面积为6知，ab12由，解得a4，b3，则所求直线的方程为1，即3x4y120