1、2022精编复习题（四十四） 双 曲 线小题对点练点点落实对点练(一)双曲线的定义和标准方程1若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A离心率相等B虚半轴长相等C实半轴长相等D焦距相等解析：选D由0k0，b0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若2，且|4，则双曲线C的方程为()A.1B.1C.1D.1解析：选D不妨设B(0，b)，由2，F(c,0)，可得A，代入双曲线C的方程可得1，即，又|4，c2a2b2，a22b216，由可得，a24，b26，双曲线C的方程为1，故选D.5设双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交双曲线左支于A，B两
2、点，则|BF2|AF2|的最小值为()A.B11 C12D16解析：选B由题意，得所以|BF2|AF2|8|AF1|BF1|8|AB|，显然，当AB垂直于x轴时其长度最短，|AB|min23，故(|BF2|AF2|)min11.6(2021河北武邑中学月考)实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程为_解析：2a2,2b4.当焦点在x轴时，双曲线的标准方程为x21；当焦点在y轴时，双曲线的标准方程为y21.答案：x21或y217设F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|2且F1AF245，延长AF2交双曲线右支于点B，则F1AB的面积等于_解析：由题意
3、可得|AF2|2，|AF1|4，则|AB|AF2|BF2|2|BF2|BF1|.又F1AF245，所以ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形，则|AB|BF1|2，所以其面积为224.答案：44对点练(二)双曲线的几何性质1(2021广州模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为y2x，则双曲线C的离心率为()A.B. C.D.解析：选B依题意知2，双曲线C的离心率e .故选B.2(2021安徽黄山模拟)若圆(x3)2y21上只有一点到双曲线1(a0，b0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：选A不妨取渐近线为bxay0，由题意得圆心到渐近线bxay
4、0的距离d2，化简得bc，b2c2，c2a2，e，故选A.3(2021湖北四地七校联考)双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过点F1及虚轴的一个端点，且点F2到直线l的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为()A.B.C. D. 解析：选D设虚轴的一个端点为B，则SF1BF2b2ca，即b2ca，4c2(c2a2)a2(a22c2)，4e46e210，解得e2，e(舍负)故选D.4设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()AB C1D解析：选C由题设易知A1
5、(a,0)，A2(a,0)，B，C.A1BA2C，1，整理得ab.渐近线方程为yx，即yx，渐近线的斜率为1.5(2021江西五市部分学校联考)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为(1,0)，若双曲线上存在点P，使得P到y轴与到x轴的距离的比值为2，则实数a的取值范围为()A.B.C.D.解析：选D法一：由双曲线的焦点为(1,0)，可知c1.由双曲线上存在点P，使得P到y轴与到x轴的距离的比值为2，可知，所以8b2a2，即8(1a2)a2，所以0aa2，可知8b2a2，即8(1a2)a2，所以0a0，b0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P满足2|，则双曲线C的离心率的取值范围是()A(1，B
6、(1,2C，)D2，)解析：选D设O为坐标原点，由2|，得4|2c(2c为双曲线的焦距)，|c，又由双曲线的性质可得|a，于是ac，e2.故选D.7过双曲线1(a0，b0)的左焦点F1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若，则双曲线的渐近线方程为_解析：由得x，由解得x，不妨设xA，xB，由可得c，整理得b3a.所以双曲线的渐近线方程为3xy0.答案：3xy08(2021安徽池州模拟)已知椭圆1的右焦点F到双曲线E：1(a0，b0)的渐近线的距离小于，则双曲线E的离心率的取值范围是_解析：椭圆1的右焦点F为(2,0)，不妨取双曲线E：1(a0，b0)的一条渐近线为b
7、xay0，则焦点F到渐近线bxay0的距离d，即有2bc，4b23c2，4(c2a2)3c2，e1，1e0，b0)的右焦点为F(c,0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解：(1)因为双曲线的渐近线方程为yx，所以ab，所以c2a2b22a24，所以a2b22，所以双曲线方程为1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足()1，所以x0y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程得3yyc2，即y0c，所以x0c，所以点A的坐标为，代
8、入双曲线方程得1，即b2c2a2c2a2b2，又因为a2b2c2，所以将b2c2a2代入式，整理得c42a2c2a40，所以348240，所以(3e22)(e22)0，因为e1，所以e，所以双曲线的离心率为.3已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2，求k的取值范围解：(1)设双曲线C2的方程为1(a0，b0)，则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21，故双曲线C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得k21且k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又2，即x1x2y1y22，2，即0，解得k23.由得k21，故k的取值范围为.