1、【知识重温】一、必记 4 个知识点1函数的零点的概念对于函数 yf(x)，xD，我们把使_的实数 x 叫做函数 yf(x)，xD 的零点2方程的根与函数的零点的关系由函数的零点的概念可知，函数 yf(x)的零点就是方程 f(x)0的实数根，也就是函数 yf(x)的图象与_的交点的横坐标所以方程 f(x)0 有实数根_函数 yf(x)有零点f(x)0 x 轴函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点3函数零点的存在性定理如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是_的一条曲线，并且_，那么函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得_，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根4二
2、分法的定义对于在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断把函数 f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到_的方法叫做二分法连续不断f(a)f(b)0f(c)0一分为二零点近似值二、必明 2 个易误点1函数 yf(x)的零点即方程 f(x)0 的实根，是函数图象与 x轴交点的横坐标，是一个实数，易误认为是一个点而写成坐标形式2.由 函 数 y f(x)在 闭 区 间 a，b 上 有 零 点 不 一 定 能 推 出f(a)f(b)0，如图所示所以 f(a)f(b)0 是 yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件【小题热身】1判断下列
3、说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点()(2)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()(4)二次函数 yax2bxc(a0)在 b24ac0 时没有零点()(5)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)f(b)0，则函数 f(x)在a，b上有且只有一个零点()2若函数 f(x)axb 有一个零点是 2，那么函数 g(x)bx2ax 的零点是()A0,2 B0，12 C0，12 D2，12解析：2ab0，g(x)2ax2axax(2x1
4、)零点为 0 和12.答案：C3已知函数 yf(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.4357414.556.7123.6则函数 yf(x)在区间1,6上的零点至少有()A2 个 B3 个C4 个 D5 个解析：由零点存在性定理知，函数在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以 yf(x)在1,6上至少有 3 个零点答案：B42020唐山模拟设 f(x)3xx2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A0,1 B1,2C2，1 D1,0解析：f(x)3xx2f(1)311230f(1)f(0)0.答案：D5已知函数 f(x)23x1a 的零点
5、为 1，则实数 a 的值为_解析：由已知得 f(1)0，即2311a0，解得 a12.答案：12考点一 函数零点的区间自主练透型12020湖北襄阳七校联考设 a 是方程 2ln x3x 的解，则 a 在下列哪个区间内()A(0,1)B(3,4)C(2,3)D(1,2)解析：令 f(x)2ln x3x，则函数 f(x)在(0，)上单调递增，且 f(1)20，所以函数 f(x)在(1,2)内有零点，即 a 在区间(1,2)内答案：D2已知实数 a1,0b1，函数 f(x)axxb 为增函数，又 0b1，f(1)1a1b0，由零点存在性定理可知 f(x)在区间(1,0)上存在零点答案：B32020湖
6、北荆门模拟若函数 f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则 m 的取值范围是()A(12，14)B(14，12)C.(14，12)D.14，12 解 析：依 题 意，结 合 函 数 f(x)的 图 象 可 知 m 需 满 足 m2，f1f00，f1f20，即m2，m2m2m12m10，m2m2m14m22m2m10，解得14m12.答案：C悟技法确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数 yf(x)必须在区间a，b上是连续的，当 f(a)f(b)0 时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点(2)图象法：若一个函
7、数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如 f(x)g(x)h(x)，作出 yg(x)和 yh(x)的图象，其交点的横坐标即为函数 f(x)的零点.考点二 判断函数零点个数互动讲练型例 1(1)函数 f(x)exx2，x0 x22x，x0的零点个数是()A0 B1C2 D3解析：(1)当 x0 时，令 f(x)0，即 x22x0，解得 x2，或 x0(舍去)所以当 x0 时，只有一个零点；当 x0 时，f(x)exx2，而 f(x)ex1，显然 f(x)0，所以 f(x)在0，)上单调递增，又 f(0)e00210，所以当 x0时，函数 f(x)有且只有一个零点综上，
8、函数 f(x)只有两个零点答案：(1)C(2)2020广西宜州联考若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且当 x0,1时，f(x)x，则函数 yf(x)log3|x|的零点个数是()A5 B4C3 D2解析：(2)偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，函数的周期为 2.当 x0,1时，f(x)x，故当 x1,0时，f(x)x.函数 yf(x)log3|x|的零点的个数等于函数 yf(x)的图象与函数 ylog3|x|的图象的交点个数在同一个坐标系中画出函数 yf(x)的图象与函数 ylog3|x|的图象，如图所示显然函数 yf(x)的图象与函数 ylog3|x|的图象
9、有 4 个交点，故选 B 项答案：(2)B悟技法函数零点个数的判断方法(1)解方程法：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0的零点个数为()A3 B2C7 D0解析：解法一 由 f(x)0得x0，x2x20 或x0，1ln x0，解得 x2 或 xe.因此函数 f(x)共有 2 个零点解法二 函数 f(x)的图象如图所示，由图象知函数 f(x)共有 2 个零点答案：B22020南昌模拟已知函数函数g(x)是周期为 2 的偶函数，且当 x0,1时，g(x)2x1，则函数 yf(x)g(
10、x)的零点个数是()A5 B6C7 D8解析：函数 yf(x)g(x)的零点个数就是函数 yf(x)与 yg(x)图象的交点个数在同一坐标系中画出这两个函数的图象，如图由图可得这两个函数的交点为 A，O，B，C，D，E，共 6 个点所以函数 yf(x)g(x)共有 6 个零点，故选 B.答案：B考点三 函数零点的应用互动讲练型考向一：根据函数零点个数或存在情况求参数范围例 2 2018全国卷已知函数 f(x)ex，x0，ln x，x0，g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是()A1,0)B0，)C1，)D1，)解析：令 h(x)xa，则 g(x)f(x)h(x
11、)在同一坐标系中画出 yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示若 g(x)存在 2 个零点，则 yf(x)的图象与 yh(x)的图象有 2个交点，平移 yh(x)的图象，可知当直线 yxa 过点(0,1)时，有 2 个交点，此时 10a，a1.当 yxa 在 yx1 上方，即 a1 时，有 2 个交点，符合题意综上，a 的取值范围为1，)故选 C.答案：C考向二：求函数各个零点(方程根)的和(范围)例3 2020 天 津 南 开 一 模 设 函 数f(x)x25x6，x0，4x4，x0，若函数 g(x)xaf(x)有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是_解析：函数 f(x)x25x6，x
12、0，4x4，x0，函数 g(x)xaf(x)有三个零点，即方程 af(x)x 有三个根，f(x)xx26x6，x0，3x4，x0，所以函数ya和yf(x)x的图象有三个交点在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示设三个交点的横坐标分别为 x1，x2，x3，且 x1x21，若关于 x 的方程 f(x)2a(aR)恰好有两个不等实根，则实数 a 的取值范围为()A.（12，1）B.（38，112 C.(38，12）(1，)D(1，)解析：作出函数 f(x)的图象，如图所示，由图可知，若方程 f(x)2a 有两个不等实根，则342，解得381，故选 C 项答案：C4 2020 天 津 部 分 区 质 量 调 查 已 知 函 数f(x)若关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个不同的实数根 a，b，c，则 abc 的取值范围是()A.（12，1）B.（34，1）C.（34，2）D.（32，2）解析：假设 abc，通过作图可得 a(12，0)，bc2，所以 abc(32，2)，故选 D 项答案：D