1、2022精编复习题（四十八） 圆锥曲线中的最值、范围、证明 问题一般难度题全员必做1已知椭圆E：1(ab0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且，2，1，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值解：(1)由题易知c1，1，又a2b2c2，解得b21，a22，故椭圆E的标准方程为y21.(2)设直线l：xky1，由得(k22)y22ky10，4k24(k22)8(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得y1y2，y1y2.(x1x24，y1y2)，|2|2
2、16，由此可知，|2的大小与k2的取值有关由可得y1y2，(y1y20)从而，由2，1得，从而2，解得0k2.令t，则t，|28t228t1682，当t时，|QC|min2.2(2021河南洛阳统考)已知抛物线C：x22py(p0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点(1)若ABl，且ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切解：(1)ABl，|FD|p，|AB|2p.SABDp21.p1，故抛物线C的方程为x22y.(2)证明：显然直线AB的斜率存在，设其方程为ykx，A，B.由消去y整理得，x2
3、2kpxp20.x1x22kp，x1x2p2.M(kp，k2p)，N.k AN.又x22py，y.抛物线x22py在点A处的切线斜率k.直线AN与抛物线相切3(2021合肥模拟)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线ykx1与曲线C交于A，B两点，求OAB面积的取值范围解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由条件知，解得a2，c，b1，故椭圆C的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2，设OAB的面积为S，由x1x20，yt在t3，)
4、上单调递增，t，0，0b0)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，设|FA|FB|，T(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)若12，求ABT中AB边上中线长的取值范围解：(1)e ，c1，a，b1，即椭圆C的方程为y21.(2)当直线的斜率为0时，显然不成立设直线l：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(m22)y22my10，则y1y2，y1y2，由|FA|FB|，得y1y2，2，m2，又AB边上的中线长为 | .2(2021武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E
5、，F两点(1)若6，求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为y21，直线AB的方程为x2y20.设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x10)，即k时，等号成立故四边形AEBF面积的最大值为2.较高难度题学霸做1(2021石家庄市质量检测)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求的取值范围解：(1)设T(x，y)，由题意知A(4,0)，B(4,0)，设直线TA的
6、斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1，k2.由k1k2，得，整理得1.故椭圆C的方程为1.(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykx2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线PQ与椭圆方程联立，得消去y，得(4k23)x216kx320.所以x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2x1x2(y12)(y22)2(1k2)x1x22k(x1x2)420.所以20.当直线PQ的斜率不存在时，的值为20.综上，的取值范围为.2(2021沈阳质量监测)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|6，直线ykx与椭圆交于A，B两点(1)若AF1F2
7、的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1(2，1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围解：(1)由题意得c3，根据2a2c16，得a5.结合a2b2c2，解得a225，b216.所以椭圆的方程为1.(2)法一：由得x2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)所以x1x20，x1x2，由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2BF2，因为(x13，y1)，(x23，y2)，所以(x13)(x23)y1y2x1x290.即x1x28，所以有8，结合b29a2，解得a212(a26舍去)，所以离心率e.法二：设A(x1，y1)，又AB，F1F2互相平分且共圆，所以AB，F1F2是圆的直径，所以xy9，又由椭圆及直线方程综合可得：由前两个方程解得x8，y1，将其代入第三个方程并结合b2a2c2a29，解得a212，故e.(3)由(2)的结论知，椭圆方程为1，由题可设A(x1，y1)，B(x1，y1)，k1，k2，所以k1k2，又，即k2，由2k11可知，k2.即直线PB的斜率k2的取值范围是.