1、十年高考分类解析第十一章 极限、导数与积分一、填空题1.（2002天津理，15）直线x=0，y=0，x=2与曲线y=（）x所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积等于_.2.（1998上海，3）若，则a= .3.（1996上海理，16）= .二、解答题4.（2002天津文，21）已知a0，函数f（x）=x3a，x0，+）.设x10，记曲线y=f（x）在点M（x1，f（x1）处的切线为l.（）求l的方程；（）设l与x轴交点为（x2，0）.证明：（i）x2a；（ii）若x1a，则ax2x1.5.（2002天津理，20）已知a0，函数f（x）=，x（0，+）.设0x1，记曲线y=f（x）在点M（
2、x1，f（x1）处的切线为l.（）求l的方程；（）设l与x轴交点为（x2，0），证明：（i）0x2；（ii）若x1，则x1x2.图1116.（2001天津理，21）某电厂冷却塔外形是如图111所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A是双曲线的顶点，C、C是冷却塔上口直径的两个端点，B、B是下底直径的两个端点，已知AA=14 m，CC=18 m，BB=22 m，塔高20 m.（1）建立坐标系并写出该双曲线方程.（2）求冷却塔的容积（精确到10 m3，塔壁厚度不计，取3.14）7.（1995上海文，22）设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f
3、（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.8.（1995上海理，22）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）若直线x=t（0t1）把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.说明：凡标有的试题与2002年教学大纲及2003年高考考试说明要求不符，仅供读者自己选用.答案详析1.答案：解析：由旋转体的体积公式V=.2.答案：4解析：依题意有：=2，a=43.答案：解析：原式=.4.（）解：求f（x）的导数：f（x）=3x2，由此得切线l的方
4、程：y（x13a）=3x12（xx1）.（）证明：依题意，切线方程中令y=0，x2=x1，（i）0，x2a，当且仅当x1=a时等号成立.（ii）若x1a，则x13a0，x2x1=0，且由（i）x2a，所以ax2x1.5.（）解：求f（x）的导数：f（x）=，由此得切线l的方程：y（）=（xx1）.（）证明：依题意，切线方程中令y=0，x2=x1（1ax1）+x1=x1（2ax1），其中0x1.（i）由0x1，x2=x1（2ax1），有x20，及x2=a（x1）2+.0x2，当且仅当x1=时，x2=.（ii）当x1时，ax11，因此，x2=x1（2ax1）x1，且由（i），x2，所以x1x2.图
5、1126.（1）如图112建立直角坐标系，xOy，使AA在x轴上，AA的中点为坐标原点O，CC与BB平行于x轴.设双曲线方程为=1（a0，b0），则a=AA=7.又设B（11，y1），C（9，y2），因为点B、C在双曲线上，所以有由题意，知y2y1=20.由、，得y1=12，y2=8.b=7.故双曲线方程为=1；（2）由双曲线方程，得x2=y2+49.设冷却塔的容积为V（m3），则.经计算，得V=4.25103（m3）.答：冷却塔的容积为4.25103 m3.评述：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.7.解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f（x）=2ax+b，又已知f（x）=2x+2a=1，b=2.f（x）=x2+2x+c又方程f（x）=0有两个相等实根，判别式=44c=0，即c=1.故f（x）=x2+2x+1.（2）依题意，有所求面积=.评述：本题考查导数和积分的基本概念.8.解：（1）与7（1）相同.（2）依题意，有，t3+t2t+=t3t2+t，2t36t2+6t1=0，2（t1）3=1，于是t=1.