1、2022精编复习题（四十一） 圆的方程小题对点练点点落实对点练(一)圆的方程1已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程是()A(x1)2y22B(x1)2y28C(x1)2y22D(x1)2y28解析：选A直线xy10与x轴的交点为(1,0)根据题意，圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆与直线xy30相切，所以半径为圆心到切线的距离，即rd，则圆的方程为(x1)2y22.故选A.2(2021河北唐山模拟)圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为()A.2y2B.2y2C.2y2D.2y2解析：选C根据题
2、意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a0)，半径为r，即圆的标准方程为(xa)2y2r2，则有解得a，r2，则圆E的标准方程为2y2.故选C.3(2021河北邯郸联考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2xy40与2xy60同时相切的圆的标准方程为()A(x1)2(y1)25B(x1)2(y1)25C(x1)2y25Dx2(y1)25解析：选A因为两平行直线2xy40与2xy60的距离为d2.故所求圆的半径为r，所以圆心(a,1)到直线2xy40的距离为，即a1或a4.又因为圆心(a,1)到直线2xy60的距离也为r，所以a1.因此所求圆的标准方程为(x1)2(y1)25.故选A.4已知直线l：x
3、my40，若曲线x2y26x2y10上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为()A2B2 C1D1解析：选D因为曲线x2y26x2y10表示的是圆，其标准方程为(x3)2(y1)29，若圆(x3)2(y1)29上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：xmy40过圆心(3,1)，所以3m40，解得m1.5已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,3)，B(2，1)，C(6，1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为_解析：依题意，直线AC的方程为，化为一般式方程为x2y40.点O到直线x2y40的距离d1.又因为|OA|，|OB|，|OC|，所以原点为圆心的圆若与ABC有唯一
4、的公共点，则公共点为(0，1)或(6，1)，故圆的半径为1或，则圆的方程为x2y21或x2y237.答案：x2y21或x2y2376(天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.答案：(x2)2y29对点练(二)与圆的方程有关的综合问题1(2021湖南长沙模拟)圆x2y22x2y10上的点到直线xy2距离的最大值是()A1B2 C1D22解析：选A将圆的方程化为(x
5、1)2(y1)21，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线xy2的距离d，故圆上的点到直线xy2距离的最大值为d11.2(2021广东七校联考)圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0，b0)对称，则的最小值是()A2B. C4D.解析：选D由圆x2y22x6y10知其标准方程为(x1)2(y3)29，圆x2y22x6y10关于直线axby30(a0，b0)对称，该直线经过圆心(1,3)，即a3b30，a3b3(a0，b0)，(a3b)，当且仅当，即ab时取等号，故选D.3(2021安徽安庆模拟)自圆C：(x3)2(y4)24外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长
6、度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A8x6y210B8x6y210C6x8y210D6x8y210解析：选D由题意得，圆心C的坐标为(3，4)，半径r2，如图因为|PQ|PO|，且PQCQ，所以|PO|2r2|PC|2，所以x2y24(x3)2(y4)2，即6x8y210，所以点P的轨迹方程为6x8y210，故选D.4已知A(0,3)，B，P为圆C：x2y22x上的任意一点，则ABP面积的最大值为()A.B. C2D.解析：选A化圆为标准方程得(x1)2y21，因为A(0，3)，B，所以|AB|3，直线AB的方程为xy3，所以圆心到直线AB的距离d.又圆C的半径为1，所以圆C上的
7、点到直线AB的最大距离为1，故ABP面积的最大值为Smax(1)3.5已知A，B是圆O：x2y216上的两点，且|AB|6，若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1，1)，则圆心M的轨迹方程是_解析：设圆心M坐标为(x，y)，则(x1)2(y1)22，即(x1)2(y1)29.答案：(x1)2(y1)296(2021北京东城区调研)当方程x2y2kx2yk20所表示的圆的面积取最大值时，直线y(k1)x2的倾斜角_.解析：由题意知，圆的半径r1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k0，r1，所以直线方程为yx2，则有tan 1，又0，)，故.答案：7已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(xa
8、)2(yb)2r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为_解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的面积最小的圆是其外接圆OPQ为直角三角形，圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r，因此圆C的方程为(x2)2(y1)25.答案：(x2)2(y1)25大题综合练迁移贯通1已知以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解：(1)由题意知，直线AB的斜率k1，中点坐标为(1,2)则直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(
9、a，b)，则由点P在CD上得ab30.又直径|CD|4，|PA|2，(a1)2b240.由解得或圆心P(3,6)或P(5，2)圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.2在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2 的圆C与直线yx相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0) 的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(xa)2(yb)28.因为直线yx与圆C相切于原点O，所以O点在圆C上，且OC垂直于直线yx，于是有解得或由于
10、点C(a，b)在第二象限，故a0，所以圆C的方程为(x2)2(y2)28.(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，则有解得x或x0(舍去)所以存在点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长3已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值解：(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(2，2)，则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x，y)，则x2y22，(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2.令xcos ，ysin ，所以xy2(sin cos )22sin2，又min1，所以的最小值为4.