1、第五节直接证明与间接证明授课提示：对应学生用书第116页基础梳理1直接证明内容综合法分析法定义从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件2.间接证明反证法要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推
2、理，最后得出矛盾，因此说明非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫作反证法 四基自测1(基础点：综合法)命题“对任意角，cos4sin4cos 2”的证明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”过程应用了()A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用D间接证明法答案：B2(基础点：分析法)要证a2b21a2b20，只要证明()A2ab1a2b20Ba2b210C.1a2b20D(a21)(b21)0答案：D3(易错点：反证法) 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”，假设正确的是()A假设三个内角都不大于60B假设三个
3、内角都大于60C假设三个内角至多有一个大于60D假设三个内角至多有两个大于60答案：B4(基础点：反证法)用反证法证明“如果ab，那么”，假设内容为_答案：授课提示：对应学生用书第116页考点一综合法挖掘综合法的思维过程/ 互动探究例(1)已知a，b，c为正数，且abc1，证明abbcca.证明由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca)1，即abbcca，当且仅当“abc”时等号成立(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin Bsin Bsin
4、Ccos 2B1.求证：a，b，c成等差数列；若C，求证：5a3b.证明由已知得sin Asin Bsin Bsin C2sin2B，因为sin B0，所以sin Asin C2sin B，由正弦定理，得ac2b，即a，b，c成等差数列由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有5ab3b20，所以5a3b.破题技法1.解决数学问题时，往往要先作语言的转换，文字语言与符号语言、符号语言与图形语言等，从条件入手结合演绎推理证出结论2推理方式(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一
5、系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理考点二分析法挖掘分析法的操作过程/ 互动探究例a0，证明 2 .证明因为a0，0，2 0，所以要证 2 ，只需证( )2(2 )2，即证2a224(a1)，只需证 a1，即证a(a2)(a1)2，即证01，而01显然成立，所以原不等式成立破题技法分析法的思路“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等考点三反证法挖掘反证法的思维/ 互动探究例(2020杭州模拟)已知函数f(x)ax(a1)(1)证明：函数f(x)在(1，)上为
6、增函数；(2)用反证法证明方程f(x)0没有负数根证明(1)设u(x)ax，v(x).a1，u(x)ax在(1，)上为增函数，要证明f(x)在(1，)上为增函数，只需证v(x)在(1，)上为增函数设x1，x2(1，)且x1x2，即证v(x2)v(x1)0.由v(x2)v(x1)0成立f(x)在(1，)上为增函数(2)假设存在x01，0ax01，01，即x02，与假设x00相矛盾，故方程f(x)0没有负数根破题技法1.反证法的适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法求证2反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：(1)与已知条件矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与定义、公理、定理矛盾；(4)与事实矛盾等方面