1、第4课时不等式的综合应用一、 填空题1. 已知log2xlog2y1，则xy的最小值为_答案：2解析：由log2xlog2y1得x0，y0，xy2，xy22.2. 若2x2y1，则xy的取值范围是_答案：(，2解析： 2x2y2，且2x2y1， 2xy， xy2.3. 设实数x，y满足x22xy10，则x2y2的最小值是_答案：解析：由x22xy10，得y.故x2y2x2.4. 已知实数x，y满足则z的取值范围是_答案：解析：作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，z的几何意义为区域内的点与点P(1，0)的连线的斜率k，由图象，得1k.5. 在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数
2、f(x)的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是_答案：4解析：P，Q两点关于原点O对称，设P(m，n)为第一象限内的点，则m0，n0，n，所以PQ24OP24(m2n2)416，当且仅当m2，即m时取等号故线段PQ长的最小值是4.6. 若实数a，b满足ab4ab10(a1)，则(a1)(b2)的最小值为_答案：27解析： ab4ab10， b，ab4ab1. (a1)(b2)ab2ab26a2b16a216a16a816(a1)15. a1， a10. 原式6(a1)1521527.当且仅当(a1)21，即a2时等号成立 (a1)(b2)的最小值为27.7. 已知x，y为正实数，则的最大
3、值为_答案：解析：设m4xy0，nxy0，则x，y，.8. 若二次函数f(x)ax2bxc(ab)的值域为0，)，则的最大值是_答案：解析：由题意可得b24ac0，且ba0，则.令y，则y，令t，则t1，则y，再令t1u，则y，当u0时，y，当且仅当u3时等号成立，即的最大值是.9. 已知函数f(x)|x|x2|，则不等式f(x26)f(5x)的解集是_答案：(，4)(1，2)(3，)解析：因为当x2时，f(x)单调递增，当xf(5x)等价于2(x26)5x3或x4或1x2时，f(x)log2x1，故函数f(x)的最小值为1，所以5m4m21，解得m1.二、 解答题11. 已知二次函数f(x)
4、ax2bxc(a，b，cR)满足：对任意实数x，都有f(x)x，且当x(1，3)时，有f(x)(x2)2成立(1) 求证：f(2)2；(2) 若f(2)0，求f(x)的解析式(1) 证明：由条件知f(2)4a2bc2恒成立，又取x2时，f(2)4a2bc(22)22恒成立， f(2)2.(2) 解： 4ac2b1， b，c14a.又f(x)x恒成立，即ax2(b1)xc0恒成立 a0，4a(14a)0，解得a，b，c， f(x)x2x.12. 某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w4，且投入的肥料费用不超过5百元此外，还需要投入其他成
5、本(如施肥的人工费等)2x百元已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)(1) 求利润L(x)的函数解析式，并写出定义域(2) 当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1) L(x)16x2x643x(0x5)(2) L(x)643x6767243.当且仅当3(x1)，即x3时取等号故L(x)max43.答：当投入的肥料费用为300元时，种植该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4 300元13. 如图，某机械厂要将长6 m，宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪已知点F为A
6、D的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P)，再沿直线PE裁剪(1) 当EFP时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；(2) 若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由解：(1) 当EFP时，由条件得EFPEFDFEP.所以FPE.所以FNBC，四边形MNPE为矩形所以四边形MNPE的面积SPNMN2 m2.(2) (解法1)设EFD，由条件，知EFPEFDFEP.所以PF，NPNFPF3，ME3.由得所以四边形MNPE的面积S(NPME)MN26666262.当且仅当tan ，即tan ，时取等号此时，(*)式成立故当EFD时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为(62)m2.(解法2)设BEt m，3t6，则ME6t.因为EFPEFDFEP，所以PEPF，即tBP.所以BP，NP3PF3PE3(tBP)3t.由得(*)所以四边形MNPE的面积S(NPME)MN3t(6t)26(t3)62.当且仅当(t3)，即t3时取等号此时，(*)式成立故当点E距B点m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为(62)m2.