1、2.1.1直线的倾斜角与斜率 知识要点要点一直线的倾斜角1倾斜角的定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x轴_与直线 l_方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角如图所示，直线 l 的倾斜角是APx，直线 l的倾斜角是BPx.2倾斜角的范围：直线的倾斜角的取值范围是_，并规定与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为_正方向向上0，180)0知识技巧由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的要点二直线的斜率1斜率的定义：一条直线的倾斜角(90)的_值叫做这条直线的斜率常用小写字母 k 表示，即 k_.2斜率公式：经过两点
2、 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 k_，当 x1x2 时，直线 P1P2 没有斜率3斜率的作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的_正切tan y2y1x2x1倾斜程度方法技巧斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)0 0 90 90 90 180 斜率(范围)0(0，)不存在(，0)基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)若是直线 l 的倾斜角，则 0180.()(2)若 k 是直线的斜率，则 kR.()(3)任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率()(4)任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角()2已知一条直线过点(3，2)与点(1，2)，
3、则这条直线的倾斜角是()A0 B45C60 D90解析：k040，0.答案：A3已知直线l的倾斜角为30，则直线l的斜率为()A.33 B.3C1 D.22解析：由题意可知，ktan 30 33.故选A.答案：A4已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1,0)，B(2，a)，C(a,1)，则实数a的值是_解析：依题意：kABkAC，即a02110a1，解得a1 52.答案：1 52题型一求直线的倾斜角例 1设直线 l 过原点，其倾斜角为，将直线 l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 40，得直线 l1，则直线 l1 的倾斜角为()A40B140C140D当 0140时为40，当 140180时为
4、140解析：根据题意，画出图形，如图所示：因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意通过画图(如图所示)可知：当0a140时，l1的倾斜角为40；当140180时，l1的倾斜角为40180140.故选D.答案：D方法技巧求直线倾斜角的两点注意：当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0，当直线与 x 轴垂直时，倾斜角为 90.注意直线倾斜角的取值范围是 0 180.方法技巧求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论变式训练 1(1)如图，直线 l 的倾斜角为()A60B120C30D150解析：(1)由图易知l的倾斜角为4510
5、5150.答案：(1)D(2)一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为(090)，则其倾斜角为()AB180C180或90 D90或90解析：(2)如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90.故选D.答案：(2)D题型二求直线的斜率例 2(1)如图，直线 l1 的倾斜角130，直线 l1l2，求 l1、l2 的斜率；(2)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率解析：(1)l1的斜率k1tan 1tan 30 33.l2的倾斜角29030120，l2的斜率k2tan 120tan(18060)tan 60 3.(2
6、)当a3时，斜率不存在；当a3时，直线的斜率k 43a.方法技巧1由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式 ktan(90)解决2由两点坐标求斜率运用两点斜率公式ky2y1x2x1(x1x2)求解3涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解变式训练 2(1)已知过两点 A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为 135，则 y_；(2)过点 P(2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为 1，则 m 的值为_解析：(1)直线AB的斜率ktan 1351，又k 3y24，由3y24 1，得y5.(2)由斜率公式k4mm21，得m1.答案：(1)5(2)1题型三直线斜率的应用例 3已知两点 A(
7、3,4)，B(3,2)，过点 P(1,0)的直线 l 与线段AB 有公共点(1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围；(2)求直线 l 的倾斜角的取值范围分析：结合图形考虑，l 的倾斜角应介于直线 PB 与直线 PA 的倾斜角之间，要特别注意，当 l 的倾斜角小于 90 时，有 kkPB；当 l 的倾斜角大于 90 时，则有 kkPA.解析：如图，由题意可知kPA 40311，kPB20311，(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(，11，)(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，的取值范围是45135.方
8、法技巧直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率当倾斜角是 90 时直线的斜率不存在，此时，直线垂直于 x 轴(平行于 y轴或与 y 轴重合)直线的斜率也反映了直线相对于 x 轴的正方向的倾斜程度当 0 90 时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当 90 180 时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大变式训练 3已知 A(3,3)，B(4,2)，C(0，2)，(1)求直线 AB 和 AC 的斜率(2)若点 D 在线段 BC(包括端点)上移动时，求直线 AD 的斜率的变化范围解析：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB 234317.直线AC的斜率kAC2303 53.故直线AB的斜率为17，直线AC的斜率为53.(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是17，53.谢谢 观 看