1、章末整合提升网络构建理脉络推理与证明专题突破启智能专题 合情推理与演绎推理1合情推理分为归纳推理和类比推理，是基本的分析和解决问题的方法合情推理是合乎情理的推理，通过归纳、猜测发现结论，为解决问题提供了思路和方向归纳推理和类比推理的特点与区别：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理2演绎推理演绎推理是数学证明中的基本推理形式，“三段论”是演绎推理的一般模式3近几年高考对推理的考查：(1)以选择题、填空题的形式考查合情推理；(2)以选择题或解答题的形式考查演绎推理；(3)题目难度不大，多以中低档题为主典例1古希腊人常用小石子在沙滩上摆成
2、各种形状来研究数比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是(C)A289B1 024C1 225D1 378解析图1中满足a2a12，a3a23，anan1n，以上累加得ana123n，an123n，图2中满足bnn2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方1 225352，选C规律方法解决此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，注意抽象出的是数列的哪类
3、公式典例2在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2a2b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是_S2SSS_.解析类比如下：正方形正方体；截下直角三角形截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S2SSS.证明如下：如图，作OE平面LMN，垂足为E，连接LE并延长交MN于F，连接OF，LOOM，LOON，OMON0，LO
4、平面MON，MN平面MON，LOMN，OEMN，OELO0，MN平面OFL，SOMNMNOF，SMNEMNFE，SMNLMNLF，OF2FEFL，S(MNOF)2(MNFE)(MNFL)SMNESMNL，同理SSMLESMNL，SSNLESMNL，SSS(SMNESMLESNLE)SMNLS，即SSSS2.规律方法类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、类比、归纳而得出结论通常情况下，平面图形的边长、面积往往类比空间几何体的面积、体积专题直接证明综合法与分析法是证明命题的两种最基本、最常用的直接证明方法综合法常用于由已知推论较易找到思路时；分析法常用于条件复杂、思考方向不明确且用综合法较难证
5、明时单纯应用分析法证明并不多见，常常是用分析法寻找思路，用综合法表述过程因此在实际应用中，经常要把综合法与分析法结合起来使用本考点在高考中每年都要涉及，主要以考查直接证明中的综合法为主典例3设a，b，c为三角形三边，面积S(abc)，且S22ab，试证：S2a.解析(分析法)要证S2a，由于S22ab，即2a，所以只需证S，即证bS，因为S(abc)，所以只需证b(abc)，即证bb，所以abc2b，又因为S(abc)，即abc2S，所以2S2b，所以SSbS，由于S22ab，所以2abbS，即2aS，所以原命题得证(反证法)假设S0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，An
6、是线段An2An1的中点，(1)写出xn与xn1、xn2之间的关系式(n3)；(2)设anxn1xn.计算a1，a2，a3，由此推测数列an的通项公式，并加以证明解析(1)当n3时，xn.(2)a1x2x1a，a2x3x2x2(x2x1)a，a3x4x3x3(x3x2)a，由此推测an()n1a(nN*)用数学归纳法证明如下：当n1时，a1x2x1a()0a，猜想成立假设当nk时，猜想成立，即ak()k1a成立那么当nk1时，ak1xk2xk1xk1(xk1xk)ak()k1a()(k1)1a，猜想仍成立，根据和可知，对任意nN*，通项公式an()n1a成立规律方法由已知求出数列的前n项，提出
7、猜想，然后再用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式的方法，证明的关键是根据已知条件和假设寻找ak与ak1或Sk与Sk1之间的关系，从而为数学归纳法的实施做了必要的准备专题转化与化归思想转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归转化与化归是数学思想方法的灵魂在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化典例6设f(x)，g(x)，其中a0且a1.(1)请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；(2)从(1)
8、中的解能获得什么结论？能否将其推广？思路分析先将g(5)用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)表示出来，再推广到一般情况解析(1)因为f(3)g(2)g(3)f(2)，g(5)，所以g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)(2)由g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)，即g(32)f(3)g(2)g(3)f(2)，推广g(xy)f(x)g(y)g(x)f(y)证明如下：因为f(x)，g(x)，所以g(y)，f(y)，g(xy)，所以f(x)g(y)g(x)f(y)g(xy)规律方法(1)归纳推理是从特殊到一般，从部分到整体的推理，在归纳、猜想阶段体现的是一般与特殊的相互转化关系(2)归纳推
9、理得到的结论未必正确，还需检验和证明，有时要用到三段论专题分类讨论思想分类讨论思想在本章的证明问题中，无论是直接法还是间接法，都有所体现如用反证法证明命题时，若结论的反面情况不唯一时，则必须采用分类讨论的方法对反面情况逐一否定，才能使问题得以证明典例7已知平面上有四个点A，B，C，D，任何三点都不共线，求证：以每三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形思路分析分别对第四个顶点在前三个顶点确定的三角形内、外两种情形进行讨论解析假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形，考虑点D在ABC内、外两种情形如图(1)所示，点D在ABC内根据假设，围绕点D的三个角都是锐角，从而得ADCADBBDC270.
10、这与一个周角等于360矛盾如图(2)所示，点D在ABC外根据假设，在ABD中，BAD90，在ABC中，ABC90，在BCD中，BCD90，在ADC中，ADC90，从而有ABCBCDCDADAB0，所以ex1,00，即f(x)0.所以f(x)在(0，)上是增函数，使用的证明方法是(A)A综合法B分析法C反证法D以上都不是解析由题意知，证明过程是执因索果，是综合法3(2019南昌一模)平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为，则三棱锥顶点到底面的距离为(C)ABCD 解析如
11、图三棱锥PABC，PA，PB，PC两两垂直，P在底面的射影为H，设PAa，PBb，PCc，可得S1ab，S2bc，S3ca，可得abc2，由题意可得底面积为，由等积法可得abcPH，可得PH，故选C二、填空题4根据下面一组等式S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，S722232425262728175，可得S1S3S5S2n1_n4_.解析根据所给等式组，不难看出：S1114；S1S31151624；S1S3S5115658134，S1S3S5S71156517525644，由此可得S1S3S5S2n1n4.5
12、(2020红旗区校级月考)比较大小：_ .(用“”或“”填空)解析()2352 82 ，()226282，又，0，0，故答案为.三、解答题6已知数列an的前n项和为Sn，其中an且a1.(1)求a2，a3；(2)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法加以证明解析(1)a2.又因为a1，则a2，类似地求得a3.(2)由a1，a2，a3，猜得an.以数学归纳法证明如下：(1)当n1时，由(1)可知等式成立；(2)假设当nk时猜想成立，即ak，那么，当nk1时，由题设an得ak1，所以Skk(2k1)akk(2k1)，Sk1(k1)(2k1)ak1，ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1，因此，k(2k3)ak1，所以ak1.这就证明了当nk1时命题成立由(1)、(2)可知命题对于任何nN都成立
