1、【知识重温】一、必记 3 个知识点1平面向量基本定理如果 e1，e2 是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a_.我们把不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组_不共线1e12e2基底2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴_的两个单位_ i、j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，有且只有一对实数 x，y，使得 a_，则有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作_，其中 x，y 分别叫做 a 在 x 轴、y 轴上的坐标，a(x，y)叫做向量 a 的坐标表示，相等的向量其_相同，_相同的向量是相等向
2、量同向向量xiyja(x，y)坐标坐标3平面向量的坐标运算(1)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB10_ _ _，|AB|_.(2)已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab_ _ _，ab_ _ _，a_ _ _，ab(b0)的充要条件是_.(3)非 零 向 量 a (x，y)的 单 位 向 量 为 _ 或 _(x，y)(4)a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab_.(x2x1，y2y1)x2x12y2y12(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)x1y2x2y10 a|a|1x2y2x1x2 且 y1y2二、必明 3 个易误点1若 a、b 为非零
3、向量，当 ab 时，a，b 的夹角为 0或 180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错2要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息3若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2 有可能等于 0，应表示为 x1y2x2y10.【小题热身】1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在ABC 中，AB，CA可以作为基底()(2)在ABC 中，设ABa，BCb，则向量 a 与 b 的夹角为ABC.()(3)平 面 向 量 不 论 经 过 怎 样 的 平 移 变 换
4、之 后，其 坐 标 不变()(4)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则 12，且 12.()(5)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可以表示成x1x2y1y2.()2教材改编下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()Aa(1,2)，b(0,0)Ba(1，2)，b(3,5)Ca(3,2)，b(9,6)Da34，12，b(3，2)解析：根据平面向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底.故选 B.答案：B32020合肥模拟若向量AB(2,4)，AC(1,3)，则BC()A(1,1)B(1，1)C(3,7)D(3，7)解析：因为向量AB(2,
5、4)，AC(1,3)，所以BCACAB(1,3)(2,4)(1，1)故选 B.答案：B4已知向量 a(1，m)，b(m,2)，若 ab，则实数 m 等于()A 2 B.2C 2或 2D0解析：由 ab，得 12m20，所以 m22，即 m 2.答案：C5在ABCD 中，ABa，AD b，AN3NC，M 为 BC 的中点，则MN _(用 a，b 表示)解析：因为AN3NC，所以AN34AC34(ab)，又因为AM a12b，所以MN 34(ab)a12b 14a14b.答案：14a14b考点一 平面向量基本定理及其应用自主练透型1设 e1，e2 是平面内一组基向量，且 ae12e2，be1e2，
6、则向量 e1e2 可以表示为另一组基向量 a，b 的线性组合，即e1e2_a_b.解析：由题意，设 e1e2manb.因为 ae12e2，be1e2，所以 e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得mn1，2mn1，所以m23，n13.答案：23 1322018全国卷在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB()A.34AB14AC B.14AB34ACC.34AB14AC D.14AB34AC解析：作出示意图如图所示EBED DB 12AD 12CB1212(ABAC)12(ABAC)34AB14AC.故选 A.答案：A
7、32019福建宁德五中期中设 O 为ABC 的重心，若ABAOAC，则()A.32B2C2 D.23解析：解法一 O 为ABC 的重心，AO ABAC3，又ABAO AC，(31)AB(3)AC 0.AB与AC 不共线，3，1，2.故选 B 项解法二 设 BC 的中点为 D，连接 AD，O 为ABC 的重心，AO 2AD3，又ABAO AC，AB23 AD AC，AD 32AB32AC.B，D，C 三点共线，且 D 为 BC 的中点，323212，3，1，2.故选 B 项解法三 连接 OB，OC，ABAO AC，OB OA OAOC OA，即(1)OA OB OC 0，又 O 为ABC 的重心
8、，OA OB OC 0，11，1，3，2.故选 B 项答案：B悟技法平面向量基本定理解题思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.考点二 平面向量的坐标运算互动讲练型例 1(1)2020广州毕业班测试已知点 O(0,0)，A(1,3)，B(2，4)，OP 2OA mAB，若点 P 在 y 轴上，则实数 m_；解析：(1)设 P(0，y)，由题知OA(1,3)，AB(3，7)，所以OP(0，y)(23m，67m)，所以 3m20，解得 m23.答案：(
9、1)23(2)2020抚顺模拟若向量 a(2,1)，b(1,2)，c0，52，则c 可用向量 a，b 表示为()A.12ab B12abC.32a12b D.32a12b解析：(2)设 cxayb，则0，52(2xy，x2y)，所以2xy0，x2y52，解得x12，y1，则 c12ab.答案：(2)A(3)2019全国卷已知向量 a(2,3)，b(3,2)，则|ab|()A.2B2C5 2D50解析：(3)a(2,3)，b(3,2)，ab(1,1)，|ab|1212 2，故选 A.答案：(3)A悟技法平面向量坐标运算的解题思路(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行(2)若已知有
10、向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标(3)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则注意 要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.变式练(着眼于举一反三)1已知向量 a(5,2)，b(4，3)，c(x，y)，若 3a2bc0，则 c()A(23，12)B(23,12)C(7,0)D(7,0)解析：3a2bc(23x,12y)0，故 x23，y12.答案：A22020河北邢台月考若向量 a(1,2)，b(2,1)，c(3，4)，则 c()A3abB2abCa2b Da3b解析：设 cab，a(1,2)，b(2,1)，c(3，4)，32，42
11、，1，2，ca2b.故选 C 项答案：C考点三 平面向量共线的坐标表示互动讲练型例 2(1)2018全国卷已知向量 a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若 c(2ab)，则 _；(2)2020开封测试已知平面向量 a，b，c，a(1,1)，b(2,3)，c(2，k)，若(ab)c，则实数 k_.解析：(1)2ab(4,2)，因为 c(2ab)，所以 42，得 12.(2)由题意，得 ab(1,4)，由(ab)c，得 1k4(2)，解得 k8.答案：(1)12(2)8悟技法平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若 a(x1
12、，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 a(R)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 a 即可得到所求的向量(3)三点共线问题A，B，C 三点共线等价于AB与AC共线.变式练(着眼于举一反三)3已知向量 a(1,2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的()A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：由题意得 ab(2,2m)，由 a(ab)，得1(2m)22，所以 m6，当 m6 时，a(ab)，则“m6”是“a(ab)”的充分必要条件答案：A42020河南安阳一模已知向量 a(1，1)，b(1,0)，若ab 和 2ab 共线，则()A2 B.12C1 D2解析：a(1，1)，b(1,0)，ab(1，)，2ab(1，2)，又 ab 和 2ab 共线，2(1)，2.故选 D 项答案：D