1、1.5.2 定积分的概念自主预习探新知情景引入研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是积分的思想在古代就已经产生了公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想那么定积分是怎样定义的呢？又有哪些性质呢？新知导学1定积分的概念如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式Sn(i)x_f(i)_(其中x为小区间长度)，当n时，上述和式无限接近某
2、个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的_定积分_，记作f(x)dx，即f(x)dx_f(i)_.这里，a与b分别叫做_积分下限_与_积分上限_，区间a，b叫做_积分区间_，函数f(x)叫做_被积函数_，x叫做_积分变量_，f(x)dx叫做_被积式_.2定积分的几何意义如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有_f(x)0_，那么定积分f(x)dx表示由_直线xa，xb(ab)_，y0和_曲线yf(x)_所围成的曲边梯形的面积3定积分的性质kf(x)dx_k f(x)dx_(k为常数)；f1(x)f2(x)dx_ f1(x)dx f2(x)dx_； f(x)dx f(x)dx_ f(x)
3、dx_(其中ac0，cosxdx0，所以C不成立，故应选C3下列值等于1的是(C)AxdxB(x1)dxC1dxDx2dx解析由积分的几何意义可知选C4不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：(1)xdx_x2dx(图1)；(2)xdx_xdx(图2)；(3)dx_2dx(图3)互动探究攻重难互动探究解疑命题方向定积分的定义 典例1求x3dx.思路分析这里的被积函数f(x)x3显然是连续函数现按定义中包含的几个步骤来求x3dx.解析(1)分割0,1：01.(2)近似代替：作和333.(因为x3连续，所以i可随意取而不影响极限，故我们此处将i取为xi，xi1的右端点)(3)取极限：32，x3d
4、x .(此处用到了求和公式1323n3(12n)22)因此x3dx.规律总结用定义法求积分的步骤(1)分割：将积分区间a，bn等分(2)近似代替：取点ixi1，xi，可取ixi1或者ixi.(3)求和：f(i)(4)求极限：f(x)dxf(i)跟踪练习1_(1)定积分f(x)dx的大小(A)A与f(x)和积分区间有关，与i的取法无关B与f(x)有关，与区间及i的取法无关C与f(x)及i的取法有关，与区间无关D与f(x)、积分区间和i的取法都有关(2)利用定积分的定义计算：x2dx.解析(2)分割，将区间0,1分成n等份01，分割后的小区间长为x.近似代替，第i个小曲边梯形的面积可近似为SiSi
5、f()x()2，(i1,2，n)求和，SnSi()x()20()2()21222(n1)2(1)(2)取极限x2dxSn .命题方向利用定积分的几何意义计算定积分典例2说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：(1)2dx；(2) (1sinx)dx；(3)dx.解析(1)2dx表示的是如图中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以2dx2.(2)函数y1sinx的图象如图所示， (1sinx)dx2S矩形ABCD2.(3) dx表示的是图中阴影所示半径为2的半圆的面积，其值为2，所以dx2.规律总结利用定积分所表示的几何意义求f(x)dx的值的关键是确定由曲线yf(
6、x)，直线xa，直线xb及x轴所围成的平面图形的形状常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形跟踪练习2_用定积分的几何意义求：(1)(3x2)dx；(2)sinxdx.解析如图1，阴影部分面积为，从而(3x2)dx.(2)如图2，由于A的面积等于B的面积，从而sinxdx0.命题方向利用定积分的性质求定积分典例3已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，求：(1) 3x3dx；(2) 6x2dx；(3) (3x22x3)dx.解析(1)3x3dx3x3dx3312.(2)6x2dx6x2dx6(x2dxx2dx)6126.(3) (3x22x3)dx3x2dx2x3dx32.
7、规律总结定积分的性质在做题时经常用到，不但可以把未知的问题转化为已知的问题，而且在运算方面更为简便另外，若函数f(x)的奇偶性已经明确，我们还有下面的结论，若f(x)在a，a上连续，则：(1)若函数f(x)为奇函数，则f(x)dx0；(2)若函数f(x)为偶函数 ，则f(x)dx2f(x)dx.跟踪练习3_已知f(x)求f(x)在区间0,5上的定积分解析由定积分的几何意义知xdx222，(4x)dx(12)1，dx211，所以f(x)dxxdx(4x)dxdx21.学科核心素养利用定积分求平面图形的面积定积分的性质主要涉及定积分的线性运算，这是解决定积分计算问题的重要工具，注意这些性质的正用和
8、逆用及变形应用主要考查定积分表示平面图形的面积典例4将下列曲线围成的平面区域的面积用定积分表示(1)y0，y，x2；(2)yx2，xy2.思路分析可先作出函数图象，再根据图象及几何意义把围成的平面区域的面积进行表示解析(1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积为S，则Sdx(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，SA1A2，A1由y，y，x1围成；A2由y，yx2，x1和x4围成A1()dx，A2(x2)dx，S2dx(x2)dx.规律总结用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是：(1)准确画出各曲线围成的平面区域；(2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x轴下方有没有区域
9、；(3)解由曲线方程组成的方程组，确定积分的上、下限；(4)根据定积分的性质写出结果跟踪练习4_(1)由ycosx，x0，x，y0所围成的图形的面积表示为定积分的形式是_cosxdx_.(2)利用定积分的几何意义求dx.解析(1)由定积分的定义和几何意义求解(2)如图，定积分dx表示由直线x3，x0，y0与曲线y所围成的图形的面积，计算可得面积为，所以dx.易混易错警示错用定积分的几何意义致误典例5由ycosx及x轴围成的介于0与2之间的平面图形的面积，利用定积分应表示为_cosxdxcosxdxcosxdx_.错解根据曲边梯形的面积计算和定积分的几何意义，得所求面积为cosxdx.辨析由于所围成的平面图形，有的在x轴上方，有的在x轴下方，其定积分值有的为正，有的为负，其中位于x轴下方的面积应为积分值的相反数正解由ycosx及x轴围成的介于0与2之间的平面图形可以分成三部分：0，2，利用定积分的几何意义可得，所求面积为cosxdxcosxdxcosxdx.点评当xa，b时，若f(x)0，则由直线xa，xb，x轴和曲线f(x)围成的图形的面积应为f(x)dx.