1、第2课时组合的综合应用知识点排列与组合的联系和区别排列与组合的共同点都是“从n个不同元素中，任取m个元素”，如果交换两个元素的位置对结果产生影响，就是排列问题；反之，如果交换两个元素的位置对结果没有影响，就是组合问题简而言之，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关知识点解排列组合综合题的思路解决该问题的一般思路是先选后排，先组合后排列，解题时应灵活运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分类时，注意各类中是否分步，分步时注意各步中是否分类利用组合知识解决与几何有关的问题，要注意：(1)将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法；(2)要使用分类方法，至于怎样确定分类的标准，这是一个难点，
2、要具体问题具体分析；(3)常用间接法解决该类问题1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)3个相同的小球放入5个不同的盒子中，每盒至多放一个球，这个问题是排列问题()(2)3个不同的小球放入5个不同的盒子中，每盒至多放一个球，这个问题是组合问题()(3)将9本不同的书分成三堆是平均分组问题()答案(1)(2)(3)2做一做(1)4种不同的种子，选出3块不同的土地，每一块地只能种一种，则不同的种法有_种(2)从3名女生、4名男生中选4人担任奥运会志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有_种(3)将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有_种不同的分法答案(1
3、)24(2)34(3)360解析(1)CA24(种)(2)CC34(种)(3)CCCA360(种).探究有限制条件的组合问题例1男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员解(1)第一步：选3名男运动员，有C种选法；第二步：选2名女运动员，有C种选法，故共有CC120种选法(2)解法一：(直接法)“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男由分类加法计数原理知共有CCCCCCCC246种选法解法二：(间接法)不考虑条
4、件，从10人中任选5人，有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种，故“至少有1名女运动员”的选法有CC246(种)(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，故不选女队长时共有CC种选法所以既有队长又有女运动员的选法共有CCC191(种)拓展提升解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”，其中用直接法求解时，应依据“特殊元素优先安排”的原则，即优先安排特殊元素，再安排其他元素而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面问题入手，试一试看是否简单些
5、，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？解解法一：按“英、日都会的人”的参与情况，可分为三类：第一类，“英日都会”的人不参加，有CC种；第二类，“英日都会”的人有1人参加，该人可参加英语，也可参加日语，共有CCCCCC种；第三类，“英日都会”的均参加共有CCACCCC种由分类加法原理可得共有CCC
6、CCCCCCCACCCC185种解法二：按“英日都会”的人参加英语翻译的人数可分为三类第一类，“英日都会”的人不参加英语翻译，有CC种；第二类，“英日都会”的人恰有一人参与英语翻译，共有CCC种；第三类，“英日都会”的人全部参与英语翻译共有CC种由分类加法原理可得共有CCCCCCC185种探究与几何有关的组合问题例2如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.问：(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作多少个？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个为顶点，可作出
7、多少个四边形？解(1)CCCCC116(个)其中以C1为顶点的三角形有CCCC36(个)(2)CCCCC360(个)拓展提升(1)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理(2)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算常用直接法，也可采用排除法(3)在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点
8、，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法解(1)(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有3C种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法根据分类加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有3C333(种)(2)(间接法)如图，从10个点中取4个点的取法有C种，除去4点共面的取法种数可以得到结果从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面有4C60(种)，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取
9、4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法为C(6063)141(种)探究分组、分配问题角度1：不同元素分组、分配问题例36本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本解(1)先从6本书中选2本给甲，有C种选法；再从其余的4本中选2本给乙，有C种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C种选法；所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有CCC90种方法(2)分给甲、
10、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法根据分步乘法计数原理可得：CCCxA，所以x15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法(3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC60种方法(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA360种方法(5)可以分为三类情况：“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有CCC90种方法；“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有CCCA360种方法；“1、1、4型”，有CA90种方法所以一共有9036090540种方法拓展提升“分组”与“分配”问题的
11、解法(1)本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清楚类型的归属对解题大有裨益要分清是分组问题还是分配问题，这个是很关键的(2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：完全均匀分组，每组的元素个数均相等，最后必须除以组数的阶乘；部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(3)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？(1)各组人数分别为2,4,6人；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间解(1)CCC13860.(2
12、)5775.(3)分两步：第一步平均分三组，第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有ACCC34650种不同的分法角度2：相同元素分配问题例46个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子解(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C10(种)(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C种插法；然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|
13、000|00|，有C种插法，故共有CC40(种)(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如|00|0000|，有C种插法将两块板与前面三块板之一并放，如|00|0000|，有C种插法故共有C(CC)30(种)拓展提升相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为
14、隔板法隔板法专门解决相同元素的分配问题(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(nm)，有C种方法可描述为n1个空中插入m1块板将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中(1)每盒至多一球，有多少种放法？(2)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？(3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？(4)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？解(1)这是全排列问题，共有A24种放法(2)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举
15、法可知其余3个球的投放方法有2种，故共有C28种放法(3)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个由于球是相同的，即没有顺序，所以属于组合问题，故共有CC12种放法(4)(隔板法)先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个球，再把剩下的14个球分成四组，即在这14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有C286种放法，如|，即编号为1,2,3,4的盒子分别放入2,6,5,7个球探究排列、组合的综合应用例5有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一
16、定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表解(1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有CCCC种，后排有A种，共(CCCC)A5400(种)(2)除去该女生后，先取后排，有CA840(种)(3)先取后排，但先安排该男生，有CCA3360(种)(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其中3人全排有A种，共CCA360(种)拓展提升解决排列、组合综合问题要遵循的两个原则(1)按事情发生的过程进行分步；(2)按元素的性质进行分类解决时通常从三个途径考虑：以元
17、素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？解分三类：第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有CCCCA种第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有CCA种第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有CCA种故满
18、足题意的所有不同的排法种数共有CCCCA2CCA432.1.无条件限制的组合应用题其解题步骤为：(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答.2.有限制条件的组合应用题(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准.(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系
19、，将几何问题抽象成组合问题来解决.(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的.1市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是()A48 B54 C72 D84答案C解析根据题意，先将3名乘客进行全排列，有A6(种)排法，排好后，有4个空当，再将1个空位和余下的两个连续的空位插入4个空当中，有A12(种)方法，根据分步乘法计数原理，共有61272(种)候车方式选C.2如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个
20、顶点中任取3个点作为一组其中可以构成三角形的组数为()A208 B204C200 D196答案C解析任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C，所以可以构成三角形的组数为：C3C8C200，故选C.3若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60种 B63种 C65种 D66种答案D解析分三种情况：(1)4个都是偶数；(2)两个为偶数，两个为奇数；(3)4个都是奇数故共有CCCC66(种)故选D.42016年3月10日是第十一届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，不同的分配方案有_种(用数字作答)答案90解析A90种5现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数解若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有CCC64(种)，若2张同色，则有CCCC144(种)；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有CCCC192(种)，剩余2张同色，则有CCC72(种)，所以共有6414419272472种不同的取法