1、单元综合测试二(第二章)时间：90分钟分值：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中内切于三棱锥的球的球心到三棱锥四个面的距离相等”这一推理过程是()A归纳推理 B类比推理C演绎推理 D非上述答案答案：B2已知数列an的通项公式为an2n(nN*)，把数列an的各项排列成如图的三角形数阵记M(s，t)表示该数阵中第s行的第t个数，则M(10,7)对应的数是()第1行2第2行2223第3行242526第4行272829210A.254 B253C252 D251解析：前9行共有12945个，第10行第7
2、个数为252.答案：C3有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b平面，则直线b直线a.结论显然是错误的，这是因为()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误解析：大前提是错误的，直线平行于平面，但不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况答案：A4由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面_”()A各正三角形内一点B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中心D各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心答案：C5用火柴棒摆“金鱼”，如
3、下图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为()A6n2 B8n2C6n2 D8n2解析：归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an6n2.答案：C6已知a(0，)，不等式x2，x3，x4，可推广为xn1，则a的值为()A2n Bn2C22(n1) Dnn解析：将四个答案分别用n1,2,3检验即可，故选D.答案：D7已知abc0，则abbcca的值()A大于0 B小于0C不小于0 D不大于0解析：由(abc)2a2b2c22(abbcca
4、)0，知abbcca(a2b2c2)0.答案：D8已知a0，b0，且ab2，则()Aab BabCa2b22 Da2b23解析：由ab2得，ab()21，排除A、B.又()2.可得a2b22.答案：C9用反证法证明“a，bN*，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是()Aa不能被5整除 Bb不能被5整除Ca，b都不能被5整除 D以上都不正确答案：C10在ABC中，sinAsinCcosAcosC，则ABC一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析：由sinAsinCcosAcosC，可得cos(AC)0，所以B为锐角，但并不能判断A，C，故选D.
5、答案：D11在等差数列an中，若an0，公差d0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，q1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()Ab4b8b5b7 Bb5b7b4b8Cb4b7b5b8 Db4b5b7b8答案：B12数列an满足a1，an11，则a2 013等于()A. B1C2 D3解析：a1，an11，a211，a312，a41，a511，a612，an3kan(nN*，kN*)a2 013a33670a32.答案：C第卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13给出若干数： ， ， ， ，由此猜测第n个数为_解析：由于前4个数可分别写
6、为：， ， ， ，故可猜想第n个数为 .答案： 14由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为_.答案：三角形三条角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心15已知等式coscos2，coscos2cos4，请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知等式(不要求证明)，那么这个等式是_.答案：coscos2cos4cos(2n1)16观察下图：12343456745678910则第_行的各数之和等于2 0132.解析：观察知，图中的第n行各数构成一个首项为n，公差为1，共2n1项的等
7、差数列，其各项和为Sn(2n1)n(2n1)n(2n1)(n1)(2n1)2，令(2n1)22 0132，得2n12 013，解得n1 007.答案：1 007三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)数列an的通项公式为an(n25n5)2，计算得a11，a21，a31，你可以猜想出什么结论？你的猜想正确吗？解：猜想：an1.猜想不正确，当n5时，a5(52555)225.18(12分)观察上图，可以发现：13422，135932，13571642，135792552，由上述具体事实能得出怎样的结论？解：将上述事实分别叙述如下：对于正整数，有前2个奇数的和等
8、于2的平方；前3个奇数的和等于3的平方；前4个奇数的和等于4的平方；前5个奇数的和等于5的平方；由此猜想：前n(nN*)个连续奇数的和等于n的平方，即13(2n1)n2.19(12分)通过计算可得下列等式：221221132222214232231(n1)2n22n1将以上各式分别相加得：(n1)2122(123n)n即：123n.类比上述求法：请你求出122232n2的值解：2313312311，3323322321，4333332331，(n1)3n33n23n1，将以上各式分别相加得：(n1)3133(122232n2)3(123n)n3(122232n2)3n所以3(122232n2)
9、(n1)3(n1)(n1)(n2)(n1)n(2n1)，所以122232n2.20(12分)观察下列两式：tan10tan20tan20tan60tan60tan101；tan5tan10tan10tan75tan75tan51.分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论解：推广结论：若90，则tantantantantantan1.证明如下：由90，得tan()tan(90)则tan(90)，所以tantantantan1tantan，即tantantantantantan1.21(12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：(1)求证：tan(x)；(2)设xR，
10、a为非零常数，且f(xa)，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论解：(1)由两角和的正切公式得tan(x)，即tan(x)，命题得证(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数证明过程如下：因为f(x2a)f(xa)a，所以f(x4a)f(x2a)2af(x)所以f(x)是以4a为周期的周期函数22(12分)已知f(x)a1xa2x2a3x3anxn，且a1，a2，a3，an组成等差数列，n为正偶数，又a11，f(1)n2，f(1)n.a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10(1)求数列an的通项公式；(2)将数列an的各项排成三角形形状(如图所示)，记A(i，j)为第i行的第j个数，例如
11、：A(4,3)a9，求A(10,1)A(10,2)A(10,3)A(10,10)的值解：(1)由题目的条件可得f(1)a1a2a3an，f(1)a1a2a3a4an1an，又已知f(1)n2，f(1)n，所以两式相加得2(a2a4a6an2an)n2n.又已知数列an是等差数列，故有2(a2a4a6an2an)2n2n，所以a2an2(n1)，已知a11，所以a2a14，a23，则an2n1，可以验证a11也满足an2n1.故数列an的通项公式为an2n1.(2)根据图形可得第10行的第一个数为a12391a46，所以A(10,1)A(10,2)A(10,3)A(10,10)a46a47a48a5524612471255121101 000.