1、52任意角的三角函数52.1任意角三角函数的定义新课程标准解读核心素养1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值，并会判断给定角的三角函数值的符号数学抽象、数学运算2.能运用定义解决相关问题逻辑推理、数学运算第一课时用比值定义三角函数初中我们就学习了锐角三角函数，如图，为锐角，sin ，cos ，tan ，三角函数值为两个边长的比值问题(1)若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？(2)若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？知识点一任意角的三角函数的定义如图，设是一个任意角，在角的终边OM上任取不同于原点O的点P，r|
2、OP|，利用点P的坐标定义sin ；cos ；tan 以上三个比值分别称为角的正弦、余弦、正切对于任意的角，sin ，cos 都分别唯一对应一个值；当k(kZ)时，tan 也唯一对应一个值，此时ysin ，ycos ，ytan 分别叫作角的正弦函数、余弦函数、正切函数以上三种函数称为三角函数三角函数定义域ysin ycos ytan |k(kZ)对三角函数定义的再理解(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数；(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合 对于确定的角，请问三角函数的结果会随点P在终
3、边上的位置的改变而改变吗？提示：不会三角函数也是函数，是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角的大小有关，即由角的终边位置决定已知角的终边与单位圆的交点为P，则tan ()A.BC.D答案：B知识点二三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)若是三角形的内角，则必有sin 0.()(2)若tan 0，则一定是第一象限角()(3)若sin 0，则角是第三角限角()答案：(1)(2)(3)三角函数的定义及
4、应用例1(链接教科书第160页例1)(1)已知角的终边经过点P(4a，3a)(a0)，求sin ，cos ，tan 的值；(2)已知角的终边落在直线xy0上，求sin ，cos ，tan 的值解(1)r5|a|.若a0，则r5a，故sin ，cos ，tan .若a0，解得m .答案：2已知角的终边落在射线y2x(x0)上，求sin ，cos 的值解：设射线y2x(x0)与单位圆的交点为P(x，y)，则解得即P，所以sin y，cos x.三角函数值符号的判定例2(链接教科书第162页例3)(1)若角同时满足sin 0且tan 0，则角的终边一定位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象
5、限(2)填空sin 285cos(105)_0(填“”或“”)解析(1)由sin 0，可知的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合由tan 0，可知的终边可能位于第二象限或第四象限，故的终边只能位于第四象限(2)因为285是第四象限角，所以sin 2850.因为105是第三象限角，所以cos(105)0.答案(1)D(2)正弦、余弦函数值的正负规律 跟踪训练1若0，则点(tan ，cos )位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B由0知为第四象限角，则tan 0，点在第二象限2若角的终边经过点P(3，a)(a0)，则()Asin 0 Bsin 0Ccos 0
6、 Dcos 0解析：选C由三角函数的定义可知，sin 符号不确定，cos 0，故选C.3判断下面各式的符号：(1)sincos；(2)cos 6sin 6.解：(1)0，cos0，sincos0.(2)60，sin 60，cos 6sin 60，则实数a的取值范围是()A(2，3 B(2，3)C2，3) D2，3解析：选A由cos 0，sin 0可知，角的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以解得2a3.3若三角形的两内角，满足sin cos 0，则此三角形必为()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D以上三种情况都可能解析：选Bsin cos 0，cos 0，为钝角4若角60的终边上有一点(4，a)，则a的值是_解析：由题意，得tan 60，解得a4.答案：45已知角的终边在直线yx上，且cos 0，则tan _解析：如图，由题意知，角的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则yx，由三角函数的定义得tan 1.答案：17