1、2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程学 习 目 标核 心 素 养1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题(难点)1.通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养.2.通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养.1双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2
2、|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|MF2|2a(常数)，且2a0)，把点A的坐标代入，得b20)，把A点的坐标代入，得b29.故所求双曲线的标准方程为1.(2)法一：焦点相同，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，c216420，即a2b220.双曲线经过点(3，2)，1.由得a212，b28，双曲线的标准方程为1.法二：设所求双曲线的方程为1(416)双曲线过点(3，2)，1，解得4或14(舍去)双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线的方程为Ax2By21，AB0.点
3、P，Q在双曲线上，解得双曲线的标准方程为1.1求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；(2)求出a2，b2的值2当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2By21(AB0，b0)，由题意得解得所以所求双曲线方程为y21.(2)已知双曲线中心在坐标原点，且一个焦点为F1(，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的方程是()A.y21 Bx21C.1 D.1B由双曲线的焦点可知c，线段PF1的中点坐标为(0，2)，所以设右焦点为F2，则有PF2x轴，且PF24
4、，点P在双曲线右支上所以PF16，所以PF1PF26422a，所以a1，b2c2a24，所以双曲线的方程为x21，选B.与双曲线有关的轨迹问题探究问题1到两定点F1，F2的距离之差是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？提示一支2求以两定点F1，F2为焦点的双曲线方程时，应如何建系？提示以直线F1F2和线段F1F2的垂直平分线分别为x轴和y轴建系【例3】如图所示，在ABC中，已知|AB|4，且三个内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程思路探究：解以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示
5、，则A(2，0)，B(2，0)由正弦定理，得sin A，sin B，sin C(R为ABC的外接圆半径)2sin Asin C2sin B，2|BC|AB|2|AC|，即|AC|BC|2a)，a，c2，b2c2a26.即所求轨迹方程为1(x)求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法(1)列出等量关系，化简得到方程(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程提醒：双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支3如图所示，已知定圆F1：x2y210x240，定圆F2：x2y210x90，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程解圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5，0)，半径r11.圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5，0)，半径r24.设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|30，b0)，所以解得所以所求的双曲线的标准方程为1.