1、43.2对数的运算法则新课程标准解读核心素养1.掌握对数的运算法则，能进行简单的对数运算数学抽象、数学运算2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，并能进行简单的化简计算数学运算对数是指数的另一种表达形式对数运算是指数运算的逆运算，我们已知道指数运算有指数运算的性质，那么对数运算是否有对数的运算性质？问题计算下列三组对数运算式，观察各组结果，你能猜想对数的运算性质吗？(1)log2(48)，log24log28；(2)log2，log232log24；(3)log225，5log22.知识点一对数的运算法则(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logaMnnlogaM
2、(nR)；(3)logalogaMlogaN(其中a0且a1，M0，N0)对数运算中的常见公式及推广(1)logalogaM(M0，nN，n1，a0，且a1)；(2)logalogaM(M0，a0，且a1)；(3)logalogaM(M0，n，pN，p，n1，a0，且a1)；(4)loga(MN)logaMlogaN(a0，且a1，M0，N0)可推广为loga(N1N2Nk)logaN1logaN2logaNk(kN，N1，N2，Nk均大于0，a0，且a1) 对数的运算法则(1)loga(MN)logaMlogaN是如何证明的？提示：设logaMp，logaNq，apM，aqN，MNapaqa
3、pq，上式的对数形式为loga(MN)logaMlogaN.1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差()(2)loga(xy)logaxlogay.()(3)log2(5)22log2(5)()答案：(1)(2)(3)2log84log82_解析：log84log82log842log881.答案：13log510log52_解析：log510log52log5log551.答案：1知识点二换底公式1(1)以10为底的对数叫作常用对数把log10N记为lg N；(2)以e(e2.718 28)为底的对数叫作自然对数，把logeN记为ln N.2换底公式lo
4、gab(a0，且a1；c0，且c1；b0)3几个常用推论(1)loganbnlogab(a0，a1，b0，n0)；(2)logambnlogab(a0，a1，b0，m0，nR)；(3)logablogba1(a0，a1；b0，b1)1._解析：log392.答案：22log29log32_解析：log29log322.答案：2对数式的运算例1(链接教科书第121页习题3题)求下列各式的值：(1)log2(4926)；(2)lg；(3)lg 142lglg 7lg 18；(4)lg 52lg 8lg 5lg 20(lg 2)2.解(1)log2(4926)log249log2269log246l
5、og22926124.(2)lglg 1 000lg 1 0003.(3)lg 142lglg 7lg 18lg(27)2(lg 7lg 3)lg 7lg(322)lg 2lg 72lg 72lg 3lg 72lg 3lg 20.(4)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)22lg 10(lg 5lg 2)22(lg 10)2213.对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行；(2)两种常用的方法：“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)
6、的对数；“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差) 跟踪训练1(2021温州高一检测)lg()A4B4C10D10解析：选Alglglg 1lg 1044.2化简下列各式：(1)4lg 23lg 5lg ；(2).解：(1)原式lglg(2454)lg(25)44.(2)原式.对数换底公式的应用例2(链接教科书第116页例7)计算：(1)log29log34；(2).解(1)由换底公式可得，log29log344.(2)原式loglog 9.利用换底公式求值的思想与注意点 跟踪训练1若log5log36log6x2，则x等于()A9BC25 D解析：选Dlog5log36log6xlo
7、g53log36log6xlog5x，则log5x2，则x52.故选D.2log23log34log45log52_解析：log23log34log45log521.答案：1对数的综合应用例3已知log189a，18b5，求log3645.(用a，b表示)解因为18b5，所以blog185.所以log3645.母题探究1(变设问)若本例条件不变，如何求log1845(用a，b表示)?解：因为18b5，所以log185b，所以log1845log189log185ab.2(变条件)若将本例条件“log189a，18b5”改为“log94a，9b5”，则又如何求解呢？解：因为9b5，所以log95
8、b.所以log3645.求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点(1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式；(2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题 跟踪训练已知x，y，z都是大于1的正数，m0，且logxm24，logym40，logxyzm12，求logzm的值解：由logxm24得logmx，由logym40得logmy，由logxyzm12得logm(xyz)，则logmxlogmylogmz.所以logmz，所以logzm60.利用对数运算解决实际问题例4
9、(链接教科书第117页例9)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1，2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A1010.1B10.1Clg 10.1 D1010.1解析由题意知，m126.7，m21.45，代入所给公式得1.45(26.7)lg ，所以lg 10.1，所以1010.1.故选A.答案A对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；(2)建立指数幂型应用
10、模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算 跟踪训练有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2019年约为400万吨，2020年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从_年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)解析：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2019年开始增加的年份的数量(nN)，由题意可得y400(150%)n400，由4004 000，两边取以10为底的对数并化简可得n(lg 3lg 2)1，n(0.477 10.301 0)1，即0.176 1n
11、1，又nN，n6，2 01962 025.故从2025年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨答案：20251计算2log63log64的结果是()A2Blog62Clog63 D3解析：选A2log63log64log69log64log6362.2已知3xlog12(3y)log12(y0)，则x的值是()A1 B0C1 D3解析：选B3xlog12(3y)log12log12121，所以x0，故选B.3已知log34log48log8mlog416，则m等于()A. B9C18 D27解析：选Blog34log48log8m2，lg m2lg 3，m9.4已知ab0，有下列四个等式：lg(ab)lg alg b；lglg alg b；lglg；lg(ab)，其中正确的是_解析：式成立的前提条件是a0，b0；式成立的前提条件是ab1.只有式成立答案：5计算：_解析：原式1.答案：1