1、第4节基本不等式 【选题明细表】知识点、方法题号利用基本不等式比较大小、证明1、3、14基本不等式求最值4、8、12、15基本不等式的实际应用6、7、11、16基本不等式与其它知识的综合2、5、9、10、13一、选择题1.(2012年高考福建卷)下列不等式一定成立的是(C)(A)lglg x(x0)(B)sin x+2(xk,kZ)(C)x2+12|x|(xR)(D)1(xR)解析:对选项A,当x0时,x2+-x=0,lglg x;对选项B,当sin x0时显然不成立;对选项C,x2+1=|x|2+12|x|,一定成立;对选项D,x2+11,01.故选C.2.(2013安徽省示范高中高三模拟)
2、“1a2),q=(xR),则p,q的大小关系为(A)(A)pq(B)pq(C)p0,y0),则3x+4y=(3x+4y)=(13+12)=5.当且仅当=,即x=2y时,等号成立,此时由解得故选C.5.(2013湖北省黄冈中学高三二模)设x,yR,a1,b1,若ax=by=2,a2+b=4,则+的最大值为(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:由题意得:=log2a,=log2b,+=2log2a+log2b=log2(a2b)log22=2,当且仅当b=a2时等号成立,故选B.6.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储
3、费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(B)(A)60件(B)80件(C)100件(D)120件解析:若每批生产x件产品,则每件产品 的生产准备费用是元,存储费用是元,总的费用y=+2=20,当且仅当=时取等号,得x=80(件),故选B.7.(2012年高考陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab),其全程的平均时速为v,则(A)(A)av(B)v=(C)v(D)v=解析:设甲乙两地相距为s,则v=.由于ab,+a,又+2,v.故av0,b0.若是3a与3b的等比中项,则+的最小值是(C)(A)2(B)(C)4(D)8解析:由题意知3a3b=
4、()2,即3a+b=3,所以a+b=1.所以+=+=2+2+2=4,当且仅当=,即a=b=时,取等号,所以最小值为4.故选C.二、填空题9.(2013年高考四川卷)已知函数f(x)=4x+(x0,a0)在x=3时取得最小值,则a=.解析:因为x0,a0,所以f(x)=4x+2=4,当且仅当4x=,即a=4x2时取等号.由题意可得a=432=36.答案:3610.已知直线ax-2by=2(a0,b0)过圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心,ab的最大值为.解析:圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,所以圆心为(2,-1),因为直线过圆心,所以2a+2b=2,即a+b=1.所以ab2=,
5、当且仅当a=b=时取等号,所以ab的最大值为.答案:11.(2013北京朝阳质检)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(xN*),则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.解析:每台机器运转x年的年平均利润为=18-x+,而x0,故18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:5812.(2013山师大附中高三第四次模拟)已知向量a=(x,-2),b=(y,1),其中x,y都是正实数,若ab,则t=x+2y的最小值是.解析:因为ab,所以
6、ab=(x,-2)(y,1)=0,即xy=2.又t=x+2y2=4,当且仅当x=2y=2时,等号成立,所以t=x+2y的最小值是4.答案:413.(2013江西省百所重点高中诊断)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(xR)的值域为0,+),则+的最小值为.解析:由题意知a0,=4-4ac=0得ac=1,+=+(a+c)2+2=4,当且仅当a=c时等号成立.答案:4三、解答题14.已知函数f(x)=lg x,若x1,x20,判断f(x1)+f(x2)与f的大小,并加以证明.解:f(x1)+f(x2)f.证明如下:f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1x2),f=lg ,且
7、x1,x20,x1x2,lg(x1x2)lg,lg(x1x2)lg ,即(lg x1+lg x2)lg .f(x1)+f(x2)f,当且仅当x1=x2时,等号成立.15.已知x0,y0,且2x+8y-xy=0,求(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.解:(1)由2x+8y-xy=0,得+=1,又x0,y0,则1=+2=,得xy64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立.所以xy的最小值为64.(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,则x+y=+(x+y)=10+10+2=18.当且仅当x=12且y=6时等号成立,x+y的最小值为18.16.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌
8、共36张,每批都购入x张(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.解:(1)设题中比例系数为k,若每批购入x张书桌,则共需分批,每批价值为20x元,由题意得f(x)=4+k20x.由x=4时,f(x)=52,得k=.f(x)=+4x(0x36,xN*).(2)由(1)知f(x)=+4x(0x36,xN*),f(x)2=48(元).当且仅当=4x,即x=6时,上式等号成立.故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.