1、第二课时函数奇偶性的应用(习题课)利用函数的奇偶性求解析式角度一定义法求函数解析式例1已知f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)2x23x1.(1)求f(1)；(2)求f(x)的解析式解(1)因为函数f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)(212311)2.(2)当x0，则f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函数，则f(x)f(x)，所以f(x)2x23x1.当x0时，f(0)f(0)，则f(0)f(0)，即f(0)0.所以f(x)的解析式为f(x)母题探究(变条件)若将本例中的“奇”改为“偶”，“x0”改为“x0”，其他条件不变，求f(x)的解析式解：当x0，此时f
2、(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是偶函数，则f(x)f(x)2x23x1，所以f(x)的解析式为f(x)利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x) 角度二方程组法求函数解析式例2设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)，求函数f(x)，g(x)的解析式解f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，由f(x)g(x)，用x代替x，得f(x)g(x)，f(x)g(x)，
3、()2，得f(x)；()2，得g(x).已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，把x换为x，构造方程组求解 跟踪训练已知f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，则f(2)等于()A26B18C10 D10解析：选A法一：令g(x)x5ax3bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(2)g(2)，又f(x)g(x)8，f(2)g(2)810，g(2)18，g(2)g(2)18，f(2)g(2)818826.法二：由已知条件，得得f(2)f(2)16.又f(2)10，f(2)26.利用函数的单调性和奇偶性比较大小例3已知偶函数f(x)的定义域为R，f(x)在0，)上单调递增，则f(2)，f(
4、)，f(3)的大小关系是()Af()f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2)f(3)解析f(x)在R上是偶函数，f(2)f(2)，f(3)f(3)23，且f(x)在区间0，)上单调递增，f(2)f(3)f()，f(2)f(3)f(3)f()又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(2)f(2)，f(3)f(3)，从而有f(2)f(3)f()2(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小解：因为函数为定义在R上的奇函数，且在0，)上单调递增，所以函数在R上是增函数，因为32，所以f(3)f(2)f(10)Bf(1)f(10)
5、Cf(1)f(10)Df(1)和f(10)关系不定解析：选Af(x)是偶函数，f(10)f(10)又f(x)在0，)上单调递减，且1f(10)，即f(1)f(10).利用函数的单调性和奇偶性解不等式例4已知定义在2，2上的奇函数f(x)在区间0，2上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解因为f(x)在区间2，2上为奇函数，且在区间0，2上单调递减，所以f(x)在区间2，2上单调递减又f(1m)f(m)，所以即解得1m.故实数m的取值范围是.母题探究(变条件)若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“0，2”改为“2，0”，其他条件不变，求实数m的取值范围解：因为函数为2，2上
6、的偶函数，又函数在区间2，0上单调递减，所以函数在区间0，2上单调递增，原不等式可化为f(|1m|)f(|m|)，故可得即解得m2.故实数m的取值范围为.利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；(2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题注意在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转化为“f(x)”的形式，如0f(1)，f(x1)0，则f(x1)f(1)注意偶函数f(x)中结论f(x)f(|x|)的灵活运用 跟踪训练已知函数yf(x)在
7、定义域1，1上是奇函数，又是减函数，若f(1a2)f(1a)0，求实数a的取值范围解：由f(1a2)f(1a)0，得f(1a2)f(1a)yf(x)在1，1上是奇函数，f(1a)f(a1)，f(1a2)f(a1)又f(x)在1，1上单调递减，解得0a1，a的取值范围是0，1)1已知yf(x)是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)0的所有实数根之和是()A4 B2C1 D0解析：选D因为yf(x)是偶函数，所以yf(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)0的所有实数根之和为0.2已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2xx2.求当x0时，f(x)的解析式解：当x0，于是f(x)2(x)(x)22xx2.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)(2xx2)2xx2，即f(x)2xx2(x0)