1、3.2函数的基本性质32.1函数的单调性与最值新课程标准解读核心素养1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性数学抽象2.理解单调性的作用和实际意义逻辑推理、数学运算3.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义数学抽象、数学运算第一课时函数的单调性德国著名的心理学家艾宾浩斯对人类的记忆牢固程度进行了有关研究他经过测试，得到了有趣的数据数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”，如图：问题(1)当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗？(2)“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，
2、对此，我们如何用数学的观点进行解释？知识点函数的单调性1增函数、减函数前提条件设函数f(x)的定义域为D，I是D的一个非空的子集条件如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2)都有f(x1)f(x2)图示结论f(x)是区间I上的增函数，也称f(x)在区间I上单调递增f(x)是区间I上的减函数，也称f(x)在区间I上单调递减2如果函数yf(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫作yf(x)的单调区间1对区间I的要求函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分2x1，x2的
3、三个特征(1)同区间性，即x1，x2I；(2)任意性，即不可用区间I上的两个特殊值代替x1，x2；(3)有序性，即需要区分大小，通常规定x1x2. 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)所有函数在定义域上都具有单调性()(2)因为f(1)f(2)，所以函数f(x)在1，2上单调递增()(3)定义在(a，b)上的函数f(x)，如果x1，x2(a，b)，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上单调递增()(4)如果函数f(x)在区间I1上单调递减，在区间I2上也单调递减，那么f(x)在区间I1和I2上就一定是减函数()答案：(1)(2)(3)(4)2下列函数f(x)
4、中，满足对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)的是_(填序号)f(x)x2；f(x)；f(x)|x|；f(x)2x1.答案：3函数yf(x)的图象如图所示，其增区间是_答案：3，14函数f(x)x22x的单调递增区间是_答案：(，1函数单调性的判定与证明例1(链接教科书第80页例1)已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，)上单调性，并用定义加以证明解(1)由x210，得x1，所以函数f(x)的定义域为x|xR，且x1(2)函数f(x)在(1，)上单调递减证明：设x1和x2是区间(1，)上任意两个实数，且x11，x21，所以x10，x
5、10，x1x20.又x1x2，所以x1x20，于是f(x2)，所以，函数f(x)在(1，)上单调递减利用定义证明函数单调性的4步骤 跟踪训练1(多选)下列函数在(，0)上为增函数的是()Ay|x|1ByCy Dyx解析：选CDy|x|1x1(x0)在(，0)上为减函数；y1(x0)在(，0)上既不是增函数也不是减函数；yx(x0)在(，0)上是增函数；yxx1(x0)在(，0)上也是增函数，故选C、D.2证明函数f(x)x在(0，1)上单调递减证明：设x1，x2是区间(0，1)上任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).0x1x21，x1x20，0x
6、1x21，则1x1x20，即f(x1)f(x2)，f(x)x在(0，1)上单调递减.求函数的单调区间例2画出函数yx22|x|3的图象，并指出函数的单调区间解yx22|x|3函数图象如图所示函数在(，1，0，1上单调递增，函数在1，0，1，)上单调递减所以函数的单调增区间是(，1和0，1，单调减区间是(1，0)和(1，)母题探究(变条件)将本例中“yx22|x|3”变为“y|x22x3|”，如何求解？解：函数y|x22x3|的图象如图所示由图象可知其单调递增区间为1，1，3，)；单调递减区间为(，1)，(1，3)求函数单调区间的2种方法法一：定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；法
7、二：图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间注意(1)如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上单调性相同，则两个区间用“，”或“和”连接，不能用“”连接；(2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间 跟踪训练1(多选)如图所示的是定义在区间5，5上的函数yf(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法正确的是()A函数在区间5，3上单调递增B函数在区间1，4上单调递增C函数在区间3，14，5上单调递减D函数在区间5，5上没有单调性解析：选ABD若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不能用“”连接故选A、
8、B、D.2求函数f(x)的单调减区间解：函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，设x1和x2是区间(，1)上任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1x20，x110，x210，即f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，)上单调递减综上，函数f(x)的单调递减区间是(，1)，(1，).函数单调性的应用例3(链接教科书第81页例3)(1)若函数f(x)x22(a1)x3在区间(，3上单调递增，则实数a的取值范围是_；(2)已知函数yf(x)是(，)上的增函数，且f(2x3)f(5x6)，则实数x的取值范围为_解析(1)f(x)x22(a1
9、)x3的开口向下，要使f(x)在(，3上单调递增，只需(a1)3，即a4.实数a的取值范围为(，4(2)f(x)在(，)上是增函数，且f(2x3)f(5x6)，2x35x6，即x.x的取值范围为.1利用单调性比较大小或解不等式的方法(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上；(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域2已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法(1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取
10、值范围；(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围 跟踪训练1若函数f(x)在(，1上是增函数，则下列关系式中成立的是()Aff(1)f(2)Bf(1)ff(2)Cf(2)f(1)fDf(2)ff(1)解析：选Df(x)在(，1上是增函数，且21，f(2)ff(1)故选D.2若f(x)是定义在0，)上的减函数，则不等式f(x)f(2x8)的解集是_解析：依题意，得不等式组解得x4.答案：复合函数yf(g(x)的单调性典例已知函数f(x)，x2，6(1)判断此函数在x2，6上的单调性；(2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤提示：(1)函数f(x)可
11、分解为函数y和函数ux1.因为x2，6，所以u1，5，显然函数ux1在x2，6上单调递增，函数y在u1，5上单调递减，由复合函数的单调性，知f(x)在x2，6上单调递减(2)解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性结论复合函数的单调性：一般地，对于复合函数yf(g(x)，单调性如表所示，简记为“同增异减”.g(x)f(x)f(g(x)增增增增减减减增减减减增迁移应用判断函数f(x)，x3，8上的单调性解：函数f(x)1，可分解为函数f(x)1和函数ux1.因为x3，8，所以u2，7，显然函数ux1在x3，8上单调递增，函
12、数f(u)1在u2，7上单调递减，由复合函数的单调性，知f(x)在x3，8上单调递减1.如图是函数yf(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是()A1B2C3 D4解析：选B由题图，可知函数yf(x)的单调递减区间有2个故选B.2函数f(x)在R上是减函数，则有()Af(3)f(5) Df(3)f(5)解析：选C因为函数f(x)在R上是减函数，3f(5)3(多选)下列四个函数中在(，0上单调递减的是()Af(x)x22x Bf(x)x2Cf(x)x1 Df(x)解析：选AD通过观察各函数的图象(图略)，易知f(x)x2，f(x)x1在(，0上单调递增，f(x)x22x，f(x)在(，0上单调递减4已知函数f(x).(1)求f(f(3)的值；(2)判断函数f(x)在(1，)上的单调性，并用定义法证明解：(1)因为f(3)，所以f(f(3)f3.(2)函数f(x)在(1，)上单调递减证明：设x1和x2是区间(1，)上任意两个实数，且x10，由x10，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)由单调性的定义可知，f(x)在(1，)上单调递减