1、课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第二章 函数、导数及其应用第八节 函数与方程 考纲传真 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数1函数的零点(1)定义：对于函数 yf(x)(xD)，把使_成立的实数 x 叫做函数 yf(x)(xD)的零点(2)函数零点与方程根的关系：方程 f(x)0 有实根函数 yf(x)的图象与_有交点函数 yf(x)有_(3)零点存在性定理：如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数 yf(x)在区间_内有零点，即存在 x0(a，b)，使得_.f(x)0 x轴零点f(a)f(b)0
2、(a，b)f(x0)02二次函数 yax2bxc(a0)的图象与零点的关系b24ac000二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的交点_无交点零点个数210(x1,0)，(x2,0)(x1,0)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点()(2)函数 yf(x)，xD 在区间(a，b)D 内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)f(b)0，则函数 f(x)在a，b上有且只有一个零点()(4)二次函数 yax2bxc 在 b24ac0 时没有零点()答案
3、(1)(2)(3)(4)2(教材改编)函数 f(x)ex3x 的零点个数是()A0 B1 C2 D3B f(1)1e30，f(0)10，f(x)在(1,0)内有零点，又 f(x)为增函数，函数 f(x)有且只有一个零点3(2015安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()Aycos xBysin xCyln xDyx21A 由于 ysin x 是奇函数；yln x 是非奇非偶函数，yx21 是偶函数但没有零点，只有 ycos x 是偶函数又有零点4(2016江西赣中南五校联考)函数 f(x)3xx2 的零点所在区间是()A(0,1)B(1,2)C(2，1)D(1,0)D f(2)359
4、，f(1)23，f(0)1，f(1)2，f(2)5，f(0)f(1)0，f(1)f(2)0，f(2)f(1)0，f(1)f(0)0，故选 D.5函数 f(x)ax12a 在区间(1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是_【导学号：31222059】13，1 函数 f(x)的图象为直线，由题意可得 f(1)f(1)0，(3a1)(1a)0，解得13a1，实数 a 的取值范围是13，1.函数零点所在区间的判断(1)设 f(x)ln xx2，则函数 f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)(2)函数 f(x)x23x18 在区间1,8上_(填“存在”或“
5、不存在”)零点.【导学号：31222060】(1)B(2)存在(1)函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x)ln x，h(x)x2 图象交点的横坐标所在的取值范围作图如下：可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)(2)法一：f(1)123118200，f(8)823818220，f(1)f(8)0，又 f(x)x23x18，x1,8的图象是连续的，故 f(x)x23x18 在 x1,8上存在零点法二：令 f(x)0，得 x23x180，(x6)(x3)0.x61,8，x31,8，f(x)x23x18 在 x1,8上存在零点规律方法 判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上
6、是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图象判断变式训练 1 已知函数 f(x)ln x12x2 的零点为 x0，则 x0 所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)C f(x)ln x12x2 在(0，)上是增函数，又 f(1)ln 1121ln 120，f(2)ln 21200，f(3)ln 31210，x0(2,3)，故选 C.判断函数零点的个数(1)函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点个数为()A1 B2 C3 D4(2)(2017秦皇
7、岛模拟)函数 f(x)ln xx22x，x0，x1，x0 的零点个数是_(1)B(2)3(1)令 f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|12x.设 g(x)|log0.5x|，h(x)12x，在同一坐标系下分别画出函数 g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有 2 个交点，因此函数 f(x)有 2 个零点(2)当 x0 时，作函数 yln x 和 yx22x 的图象，由图知，当 x0 时，f(x)有 2 个零点；当 x0 时，由 f(x)0 得 x14，综上，f(x)有 3 个零点规律方法 判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程 f(x)0 有几个不
8、同的实数解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数变式训练 2(2015湖北高考)函数 f(x)2sin xsinx2 x2 的零点个数为_2 f(x)2sin xsinx2 x22sin xcos xx2sin 2xx2，由 f(x)0，得 sin 2xx2.设 y1sin 2x，y2x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数 f(x)有两个零点函数零点的应用(2017昆明模拟)已知
9、定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间0,2上 f(x)x，若关于 x 的方程 f(x)logax 有三个不同的实根，求 a 的取值范围思路点拨 先作出函数 f(x)的图象，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件解 由 f(x4)f(x)知，函数的周期为 4，又函数为偶函数，所以 f(x4)f(x)f(4x)，3 分所以函数图象关于 x2 对称，且 f(2)f(6)f(10)2，要使方程 f(x)logax有三个不同的根，则满足a1，f62，f102，8 分如图，即a1，loga62，loga102，解得 6a 10.规律方法 已知函数有零点求参数取值范围常用的方
10、法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解变式训练 3(1)函数 f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)(2)(2016山东高考)已知函数 f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_(1)C(2)(3，)(1)函数 f(
11、x)2x2xa 在区间(1,2)上单调递增，又函数 f(x)2x2xa 的一个零点在区间(1,2)内，则有 f(1)f(2)0，(a)(41a)0，即 a(a3)0，0a3.(2)作出 f(x)的图象如图所示当 xm 时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程 f(x)b 有三个不同的根，则有 4mm20.又 m0，解得 m3.思想与方法1转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题2判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断(3)将函数 yf(x)g(x)的零点个数转化为函数 yf(x)与 yg(x)图象公共点的个数来判断3利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法易错与防范1函数的零点不是点，是方程 f(x)0 的实根2函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件课时分层训练（十一）点击图标进入