1、1.2.2充分条件和必要条件新课程标准解读核心素养1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系数学抽象、逻辑推理2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系数学抽象、逻辑推理3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系数学抽象、逻辑推理某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯这就是电器上常用的“双刀”开关问题(1)A开关闭合时B灯一定亮吗？(2)从数学的角度如何描述这种关系？知识点一充分条件和必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是
2、假命题推出关系pqp q条件关系p叫作q的充分条件；q叫作p的必要条件p不是q的充分条件；q不是p的必要条件 1判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系(1)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；(2)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件2充分条件、必要条件的理解pq可以理解为若p成立，则q一定也成立，即p对于q的成立是充分的；反过来，若q不成立，则p必不成立，即q对于p的成立是必要的 1p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？提示：相同，都是pq.2以下五种表述形式：pq；p是q的充分条件；q的充分条件是p；q是p的必要
3、条件；p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？提示：这五种表述形式是等价的1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件()(2)若p是q的充分条件，则p是唯一的()(3)若q不是p的必要条件，则“p q”成立()(4)“x1”是“x0”的充分条件()答案：(1)(2)(3)(4) 2.(2021姜堰二中月考)已知p：2x2，q：1x2，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分条件 D既不充分又不必要条件解析：选B已知p：2x2，q：1x2，qp，但p q，p是q的必要不充分条件3(2021日照高一月考)已知a，bR，则“ab”是“1”的
4、()A充分不必要条件 B必要不充分条件C必要条件 D既不充分又不必要条件解析：选D当a1，b2时，ab，但1，但ab”是“1”的既不充分又不必要条件，故选D.知识点二充分必要条件(充要条件)1定义：如果既有pq，又有qp，就记作pq即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件当然，此时q也是p的充分必要条件2记法：如果p是q的充要条件，就记作pq，称为“p与q等价”，或“p等价于q”3传递性：“”和“”都具有传递性，即(1)如果pq，qs，那么ps；(2)如果pq，qs，那么ps对充分必要条件的再理解(1)如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和
5、结论互为充分必要条件；(2)p是q的充分必要条件p成立当且仅当q成立 1若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？提示：正确若p是q的充要条件，则pq，即p等价于q.2“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示：p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；p的充要条件是q说明q是条件，p是结论1(2021无锡高一月考)“x210”是“|x|10”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：选C设Ax|x2101，1，Bx|x|101，1，所以AB，即“x210”是“|x|10”的充要条件2设p：“四边形为菱形”，q：“
6、四边形的对角线互相垂直”，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案：A3若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的_条件答案：充要充分、必要、充要条件的判断例1(链接教科书第16页例3)下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x1或x2，q：x1；(2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；(3)p：xy0，q：x0，y0；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形解(1)因为x1或x2x1，x1x1或x2，所以p是q的充要条件(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即pq.反之，若四边形的对角线互相垂直
7、平分，该四边形不一定是正方形，即q p.所以p是q的充分不必要条件(3)因为xy0时，x0，y0或x0，yb2”是“ab”的充分条件B“a2b2”是“ab”的必要条件C“ac2bc2”是“ab”的充分条件D“|a|b|”是“ab”的既不充分又不必要条件解析：选CD对于A，当a5，b1时，满足a2b2，但是ab，但是a2bc2得c0，则ab成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a5，b1时，|a|b|成立，但是ab，但是|a|b|”是“ab”的既不充分又不必要条件故选C、D.2已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件那么：(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3
8、)p是q的什么条件？解：将p，q，r，s的关系作图表示，如图所示(1)因为qrs，sq，所以s是q的充要条件(2)因为rsq，qr，所以r是q的充要条件(3)因为prsq，所以p是q的充分条件.充分条件与必要条件的应用例2已知p：2x10，q：1mx1m(m0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围解p：2x10，q：1mx1m(m0)因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即x|1mx1mx|2x10，故有或解得m3.又m0，所以实数m的取值范围为m|00)因为p是q的充分不必要条件，所以或解得m9，故实数m的取值范围是m|m92(变设问)本例中p，q不变，是否存在实
9、数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由解：p：2x10，q：1mx1m(m0)若p是q的充要条件，则方程组无解故不存在实数m，使得p是q的充要条件充分条件与必要条件的应用技巧及求解步骤(1)应用技巧：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解 跟踪训练(2021扬州中学月考)设集合Ax|2a1x3a5，Bx|3x22，则A(AB)的充要条件为_；一个充分不必要条件可为_解析：A(AB)AB，Bx|3x22若A，则2a13a5，解得
10、a6；若A，则AB6a9.综上可知，A(AB)的充要条件为a9；一个充分不必要条件可为8a9.答案：a98a9(答案不唯一)充要条件的证明例3(链接教科书第17页例4)求证：方程x22x3m0有两个同号且不相等实根的充要条件是m0.证明(1)充分性：m0，且3m0，方程x22x3m0有两个同号且不相等的实根(2)必要性：若方程x22x3m0有两个同号且不相等的实根，则有解得m0.综合(1)(2)知，方程x22x3m0有两个同号且不相等的实根的充要条件是m0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”
11、，那么“充分性”是qp，“必要性”是pq；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反；(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明注意证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向 跟踪训练(2021盐城中学高一月考)已知a，b，c均为实数，证明“ac0”是“关于x的方程ax2bxc0有一正根和一负根”的充要条件证明：充分性：ac0，ax2bxc0有两个不相等的实数根，分别设为x1，x2.ac0，x1x20，x1，x2为一正一负，即ax2bxc0有一正根和一负根必要性：ax2bxc0有一正根和一负根
12、，a0，方程ax2bxc0为一元二次方程设两个根分别为x1，x2，则x1x20，ac0.综上知，“ac0”是“关于x的方程ax2bxc0有一正根和一负根”的充要条件.充分条件、必要条件、充要条件的探求例4(1)关于x的一元二次方程x2xm0有实数解的一个必要条件是()AmBmCm Dm0中分别选出适合下列条件者，用序号填空()a，b都为0的必要条件是_；()使a，b都不为0的充分条件是_解析(1)由题意可得b24ac141m0，解得m.四个选项中，只有m0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出，能推出“a，b都不为0”，所以a，b都为0的必要条件是，使a，b都不为0的
13、充分条件是.答案(1)A(2)()()寻求充分条件、必要条件、充要条件的方法(1)寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p.即pq；(2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p.即qp；(3)寻求q的充要条件有两种方法：等价转化法：将原命题进行等价转化，直至获得其成立的充要条件，其中探求的过程也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证；非等价转化法：先寻找必要条件，再证明充分性，即从必要性和充分性两方面说明 跟踪训练(2021连云港高级中学高一月考)求关于x的方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件解：当a0时，方程为一元一次方程，其根为x
14、，符合要求当a0时，方程为一元二次方程，此时ax22x10有实根的充要条件是判别式0，即44a0，从而a1.设方程ax22x10的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系，则x1x2，x1x2.()方程ax22x10有一负根一正根的充要条件为a0；()方程ax22x10有两个负根的充要条件为0a1.综上所述，方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件是a1.1设xR，则“1x2”是“1x3”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：选B“1x2”“1x3”，反之不成立“1x2”是“1x0”是“ab0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不
15、充分又不必要条件解析：选D若ab0，取a3，b2，则ab0不成立；反之，若ab0，取a2，b3，则ab0也不成立，因此“ab0”是“ab0”的既不充分又不必要条件3(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是()解析：选BD由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件故选B、D.