1、课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 考纲传真 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系1直线的倾斜角(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l_之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴_时，规定它的倾斜角为 0.(2)范围：直线 l 倾斜角的取值范围是_2斜率公式(1)直线 l 的倾
2、斜角为 90，则斜率 k_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1x2，则 l 的斜率 k_.向上方向平行或重合0，)tan y2y1x2x13直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式_不含直线 xx0斜截式_不含垂直于 x 轴的直线两点式_不含直线 xx1(x1x2)和直线 yy1(y1y2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式_，_平面内所有直线都适用AxByC0ykxbyy0k(xx0)yy1y2y1 xx1x2x1xayb1A2B201(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)
3、坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(3)过定点 P0(x0，y0)的直线都可用方程 yy0k(xx0)表示()(4)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)直线 3xya0(a 为常数)的倾斜角为()A30 B60 C150 D120B 直线的斜率为 ktan 3，又因为 0180，则 60.3(2014福建高考)已知直线 l 过圆 x2(y3)24 的圆心，且与直线 xy10 垂直，则直线 l 的方程是()Axy20Bxy20Cxy30Dxy30D 圆
4、 x2(y3)24 的圆心为点(0,3)，又因为直线 l 与直线 xy10垂直，所以直线 l 的斜率 k1.由点斜式得直线 l：y3x0，化简得 xy30.4直线 l：axy2a0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则实数 a_.1 或2 令 x0，则 l 在 y 轴上的截距为 2a；令 y0，得直线 l 在 x 轴上的截距为 12a.依题意 2a12a，解得 a1 或 a2.5(2017西安模拟)过点 P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 l 的方程为_3x2y0 或 xy10 当直线过原点时，方程为 y32x，即 3x2y0.当直线 l 不过原点时，设直线方程为xaya1.
5、将 P(2,3)代入方程，得 a1，所以直线 l 的方程为 xy10.综上，所求直线 l 的方程为 3x2y0 或 xy10.直线的倾斜角和斜率(1)直线 xycos 10(R)的倾斜角 的取值范围是_(2)(2017郑州模拟)若直线 l 过点 P(3,2)，且与以 A(2，3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线 l 的斜率的取值范围是_(1)4，34 (2)5，13 (1)当 k2(kZ)时，cos 0，直线为 x10，其倾斜角为2.当 k2(kZ)时，直线 l 的斜率为tan 1cos(，11，)，所以直线 l 的倾斜角的取值范围是4，2 2，34.综上，的取值范围是4，34.(2)因
6、为 P(3,2)，A(2，3)，B(3,0)，则 kPA32235，kPB023313.如图所示，当直线 l 与线段 AB 相交时，直线 l 的斜率的取值范围为5，13.规律方法 1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是0，)，斜率的取值范围是 R.(2)正切函数在0，)上不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角 的取值范围2第(2)问求解要注意两点：(1)斜率公式的正确计算；(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为 k5 或 k13.变式训练 1(1)(2017惠州质检)直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率 k 的
7、取值范围是()A1k15 Bk1 或 k12Ck15或 k1Dk12或 k1(2)直线 l 经过 A(3,1)，B(2，m2)(mR)两点，则直线 l 的倾斜角 的取值范围是_(1)D(2)4，2 (1)设直线的斜率为 k，则直线方程为 y2k(x1)，直线在 x 轴上的截距为 12k.令312k3，解不等式得 k1 或 k12.(2)直线 l 的斜率 k1m232 1m21，所以 ktan 1.又 ytan 在0，2 上是增函数，因此42.求直线的方程(1)过点 A(1,3)，斜率是直线 y4x 的斜率的13的直线方程为_(2)若 A(1，2)，B(5,6)，直线 l 经过 AB 的中点 M
8、 且在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程(1)4x3y130 设所求直线的斜率为 k，依题意k41343.又直线经过点 A(1,3)，因此所求直线方程为y343(x1)，即 4x3y130.(2)法一：设直线 l 在 x 轴，y 轴上的截距均为 a.由题意得 M(3,2).2 分若 a0，即 l 过点(0,0)和(3,2)，所以直线 l 的方程为 y23x，即 2x3y0.5 分若 a0，设直线 l 的方程为xaya1，因为直线 l 过点 M(3,2)，所以3a2a1，8 分所以 a5，此时直线 l 的方程为x5y51，即 xy50.综上，直线 l 的方程为 2x3y0 或 xy50.1
9、2 分法二：易知 M(3,2)，由题意知所求直线 l 的斜率 k 存在且 k0，则直线 l 的方程为 y2k(x3).2 分令 y0，得 x32k；令 x0，得 y23k.5 分所以 32k23k，解得 k1 或 k23.8 分所以直线 l 的方程为 y2(x3)或 y223(x3)，即 xy50 或 2x3y0.12 分规律方法 1.截距可正、可负、可为 0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为 0”的情况，以防漏解2求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重
10、要变式训练 2 求过点 A(1，3)且倾斜角等于直线 y3x 的倾斜角的 2 倍的直线方程解 由已知设直线 y3x 的倾斜角为，2 分则所求直线的倾斜角为 2.5 分tan 3，tan 2 2tan 1tan234.8 分又直线经过点 A(1，3)，因此所求直线方程为 y334(x1)，即 3x4y150.12 分直线方程的综合应用 已知直线 l 过点 M(1,1)，且与 x 轴，y 轴的正半轴分别相交于 A，B两点，O 为坐标原点求：(1)当|OA|OB|取得最小值时，直线 l 的方程；(2)当|MA|2|MB|2 取得最小值时，直线 l 的方程【导学号：31222284】解(1)设 A(a
11、,0)，B(0，b)(a0，b0)设直线 l 的方程为xayb1，则1a1b1，所以|OA|OB|ab(ab)1a1b 2baab22baab4，3 分当且仅当 ab2 时取等号，此时直线 l 的方程为 xy20.5 分(2)设直线 l 的斜率为 k，则 k0，直线 l 的方程为 y1k(x1)，则 A11k，0，B(0,1k)，7 分所以|MA|2|MB|2 111k21212(11k)22k2 1k222k21k24.10 分当且仅当 k21k2，即 k1 时，上式等号成立所以当|MA|2|MB|2 取得最小值时，直线 l 的方程为 xy20.12 分规律方法 1.求解本题的关键是找出|O
12、A|OB|与|MA|2|MB|2 取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件2利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式变式训练 3 已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直线 l1，l2 与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当 a 为何值时，四边形的面积最小？解 由ax2y2a4，2xa2y2a24，得 xy2，2 分直线 l1 与 l2 交于点 A(2,2)(如图)易知|OB|a22，|OC|2a，5 分则 S 四边形 OB
13、ACSAOBSAOC122(a22)122(2a)a2a4a122154，a(0,2)，10 分当 a12时，四边形 OBAC 的面积最小.12 分思想与方法1求直线方程的两种常见方法：(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程25 种形式的直线方程都有不同的适用条件，当条件不具备时，要注意分类讨论思想的应用易错与防范1求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率2根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性3应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为 0.4由一般式 AxByC0 确定斜率 k 时，易忽视判定 B 是否为 0.当 B0 时，k 不存在；当 B0 时，kAB.课时分层训练（四十五）点击图标进入
