1、2022精编复习题（三十） 数列的综合问题小题常考题点准解快解1(2021安徽六安一中月考)已知数列an的通项公式为an5n，其前n项和为Sn，将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，记bn的前n项和为Tn.若存在mN*，使对任意nN*，SnTm恒成立，则实数的取值范围是()A2，)B(3，)C3，)D(2，)解析：选D依题意得Sn，根据二次函数的性质，n4,5时，Sn取得最大值为10.另外，根据通项公式得数列an的前4项为a14，a23，a32，a41，观察易知抽掉第二项后，余下的三项可组成等比数列所以数列bn中，b14，公比q，所以Tn8，所以4Tn8
2、.因为存在mN*，对任意nN*，SnTm恒成立，所以102.故选D.2(2021北京景山学校段测)已知数列an满足a11，P(an，an1)(nN*)在直线xy10上，如果函数f(n)(nN*，n2)，那么函数f(n)的最小值为()A.B C.D解析：选C将点P的坐标代入直线方程，得an1an1，所以an是首项为1，公差为1的等差数列，所以ann，所以f(n)，f(n1)，所以f(n1)f(n)0，所以f(n)单调递增，故f(n)的最小值为f(2)，故选C.3(2021江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半若饲养5年后，鱼的质
3、量预计为原来的t倍下列选项中，与t值最接近的是()A11B13 C15D17解析：选B设鱼原来的质量为a，饲养n年后鱼的质量为an，q200%2，则a1a(1q)，a2a1a(1q)，a5a(12)(11)a12.7a，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B.4(2021湖北襄阳四校联考)我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，.第二步：将数列的各项乘以，得到一个新数列a1，a2，a3，an.则a1a2a2a3a3a4an1an()A.BC.D解析：选C由题意知所得新数列为1，所以a1a2a2a3a3a4an1an，故选C.5(
4、2021辽宁盘锦高中月考)数列an满足a1，an1，若不等式n对任何正整数n恒成立，则实数的最小值为()A.B C.D解析：选A因为数列an满足a1，an1，所以反复代入计算可得a2，a3，a4，a5，由此可归纳出通项公式an，经验证，成立所以11，所以n1n.因为要求1，a11，且2a2，a4,3a3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)记bn2nan，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)由2a2，a4,3a3成等差数列可得2a42a23a3，即2a1q32a1q3a1q2，又q1，a11，故2q223q，即2q23q20，得q2，因此数列an的通项公式为an2n1.(2)bn2n2n
5、1n2n，Tn12222323n2n，2Tn122223324n2n1.得Tn222232nn2n1，Tnn2n1，Tn(n1)2n12.2(山东高考)已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1x23，x3x22.(1)求数列xn的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2,2)，Pn1(xn1，n1)得到折线P1P2Pn1，求由该折线与直线y0，xx1，xxn1所围成的区域的面积Tn.解：(1)设数列xn的公比为q，由已知得q0.由题意得所以3q25q20.因为q0，所以q2，x11，因此数列xn的通项公式为xn2n1.(2)过P1，P2，Pn1向x
6、轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Qn1.由(1)得xn1xn2n2n12n1，记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn，由题意得bn2n1(2n1)2n2，所以Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2.又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1.得Tn321(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n1.所以Tn.3(2021河北二市联考)在等比数列an中，an0(nN*)，a1a34，且a31是a2和a4的等差中项，若bnlog2an1.(1)求数列bn的通项公式；(2)若数列cn满足cnan1，求数列cn的前n项和解：(1)设等比数列an的公比为q
7、，且q0，在等比数列an中，由an0，a1a34得，a22，又a31是a2和a4的等差中项，所以2(a31)a2a4，把代入得，2(2q1)22q2，解得q2或q0(舍去)，所以ana2qn22n1，则bnlog2an1log22nn.(2)由(1)得，cnan12n2n，所以数列cn的前n项和Sn2222n2n12.4(2021河北定州中学阶段性检测)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bnan2an，且数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn2n.解：(1)因为Sn，所以当n2时，Sn1，所以由两式相减得anSnSn1n1.又因为n1时，a1S12适合ann1，所以ann1.(2)证明：由(1)知bnn3(n1)2，所以Tnb1b2b3bn2n2n2n2n.