1、第三章不等式3 基本不等式3.2 基本不等式与最大(小)值内 容 标 准学 科 素 养1.进一步掌握基本不等式ab2 ab(a，b 是非负数).2.能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.在解题过程中加深对基本不等式成立条件的理解.4.能够用基本不等式解决一些简单的实际问题.灵活公式变形严密公式应用规范逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 基本不等式的应用预习教材 P9094，思考并完成以下问题1利用基本不等式求最值时，应注意什么问题？提示：在用基本不等式求函数的最大(小)值时，需要注意三个条件：一正、二定、三相等，所谓“
2、正”是指各项或各因式为正值，所谓“定”是指和或积为定值，所谓“相等”是指各项或各因式能相等，即等号能取到2当 x0 时，能用基本不等式求4xx 的最值吗？怎样求？提示：能.4xx4x（x）224.3如果给出的条件不满足基本不等式的应用条件时，怎样用基本不等式求最值？提示：先变形，后应用4已知 x，y 都是正数，若 xys(和为定值)，那么 xy 有最大值还是最小值？如何求？提示：xy 有最大值由基本不等式，得 sxy2 xy，所以 xys24.当 xy 时，积xy 取得最大值s24.5已知 x，y 都是正数，若 xyp(积为定值)，那么 xy 有最大值还是最小值？如何求？提示：xy 有最小值由
3、基本不等式，得 xy2 xy2 p.当 xy 时，xy 取得最小值 2 p.知识梳理 应用基本不等式求最值已知 x、y 都是正数(1)若 xys(和为定值)，则当 xy 时，积 xy 取得最_值_(2)若 xyp(积为定值)，则当 xy 时，和 xy 取得最_值_上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大大s24小2 p思考：1.若两正数的积是定值 4，那么这两个正数的和的最小值是 4 吗？提示：不一定要看这两个正数能否相等，例如 0，2，sin 4sin 4，因为 sin 2，即 sin 4sin 2sin 4sin 4 中的等号不能取得，所以 sin 4sin 不可能取到 4.2yx1x
4、的最小值是 2 吗？提示：不是只有当 x0 时，才能得到结论其最小值是 2.当 x0 时，有 yx1x2.自我检测1函数 f(x)x4x1 的值域是()A(，35，)B3，)C(，53，)D(，44，)解析：当 x0 时，x4x12x4x13，当且仅当 x2 时，取等号；当 x0时，x4x1（x）4x 15，当且仅当 x2 时，取等号所以函数的值域为(，53，)答案：C2函数 y4x2(6x2)的最大值为()A36 B6C9 D18解析：由基本不等式可得 y4x2(6x2)4x26x22236，当且仅当 x26x2，即 x23 时，等号成立，故函数的最大值为 36.故选 A.答案：A3若 x0
5、，则函数 f(x)1x16x 的最小值为_解 析：因 为x 0，所 以f(x)1 x 16x 1 （x）16x1 2（x）16x 9，当且仅当x16x，即 x4 时，函数取最小值 9.答案：9探究一 利用基本不等式求函数最值 例 1(1)函数 yx22x1(x1)的最小值是_(2)已知 x54，求函数 y4x114x5的最大值解题指南(1)对函数 yx22x1作适当变形，转化为：y(x1)3x12 求解(2)将 4x114x5转化为其中两部分的积等于常数求解解析(1)yx22x1（x1）22（x1）3x1(x1)3x12，因为 x1，所以 x10，所以(x1)3x122 32，当且仅当 x1
6、3x1，即 x1 3时等号成立(2)因为 x54，所以 4x50，故 54x0，y4x114x554x154x 4.因为 54x154x2（54x）154x2.所以 y242.当且仅当 54x154x，即 x1 或 x32(舍)时，等号成立，故当 x1 时，ymax2.答案(1)2 32(2)见解析延伸探究 1.题(2)条件“x54”，改为“x54”，其他条件不变，则函数 y4x114x5有最大值还是有最小值？解析：有最小值因为 x54，所以 4x10，4x50，y4x114x54x514x542（4x5）14x546.当且仅当 4x514x5，即 x32(x1 舍)时，y 取最小值 6.2若
7、将题(2)条件“x54”改为“14x54”，求函数 y(4x1)(54x)的最大值解析：因为14x54，所以 4x10，54x0，所以(4x1)(54x)4x154x224，当且仅当 4x154x，即 x34时，取等号，所以 y(4x1)(54x)的最大值为 4.方法技巧 利用基本不等式求函数最值的方法1利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式ab2 ab成立的前提条件，a0，b0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“”号的条件，即“”号成立以上三点缺一不可2若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，
8、通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项和配凑因式跟踪探究 1.(1)求 f(x)13x(14x)0 x14 的最大值；(2)若 x3，求 f(x)2x1 1x3的最大值；(3)已知 x0，求 f(x)2xx21的最大值解析：(1)由于 0 x14，所以 f(x)13x(14x)1124x(14x)1124x14x22 148，当且仅当 4x14x，即 x18时，函数取得最大值 148.故 f(x)的最大值为 148.(2)因为 x3，所以 3x0.又因为 f(x)2(x3)1x372（3x）13x 7，由基本不等式可得 2(3x)13x22（3x）13x2 2，当且仅当 2
9、(3x)13x，即 x3 22 时，等号成立，于是2（3x）13x 2 2，2（3x）13x 772 2，故 f(x)的最大值是 72 2.(3)f(x)2xx21 2x1x.因为 x0，所以 x1x2x1x2，所以 0f(x)221，当且仅当 x1x，即 x1 时，等号成立故 f(x)的最大值为 1.探究二 利用基本不等式解有条件的最值(范围)问题阅读教材 P91 例 2 及解答设 x，y 为正实数，且 2x5y20.求 ulg xlg y 的最大值题型：利用基本不等式解有条件的最值问题方法步骤：利用基本不等式求 xy 的范围转化求 ulg xlg y 的最大值；指出“”成立的条件例 2(1
10、)(2017高考山东卷)若直线xayb1(a0，b0)过点(1，2)，则 2ab 的最小值为_(2)(2017高考北京卷)已知 x0，y0，且 xy1，则 x2y2 的取值范围是_解题指南(1)用 1 的代换技巧，进而利用基本不等式来求最值(2)由 xy1 得 x2y212xy，把求 x2y2的取值范围转化为求 12xy 的取值范围，进而转化为求 xy 的取值范围解析(1)因为直线xayb1(a0，b0)过点(1，2)，所以1a2b1，所以 2ab(2ab)1a2b 44ab ba424ab ba8，当且仅当4ab ba，即 a2，b4 时等号成立(2)xy12 xy0 xy14，而 xy1(
11、平方)得 x2y212xy，因为 02xy12122xy01212xy1.即12x2y21.答案(1)8(2)12，1方法技巧 不等式变形中的常用方法跟踪探究 2.设 x0，y0，且 2xy1，求1x1y的最小值解析：法一：x0，y0，2xy1，1x1y2xyx2xyy3yx2xy 32yx2xy32 2，当且仅当yx2xy，即 y 2x 时，等号成立，解得 x1 22，y 21，当 x1 22，y 21 时，1x1y有最小值 32 2.法二：1x1y1x1y 11x1y(2xy)32xy yx32yx2xy 32 2，以下同解法一探究三 利用基本不等式解决实际问题阅读教材 P9293 例 4
12、，5 及解答题型：利用基本不等式解决实际问题方法步骤：设出未知量，将已知条件转化为数学语言构造目标函数利用基本不等式求目标函数的最值指出“”成立的条件，回扣实际问题例 3 某厂家拟在 2019 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x(万件)与年促销费用 m(万元)(m0)满足 x3km1(k 为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是 1 万件，已知 2019 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)
13、(1)将 2019 年该产品的利润 y(万元)表示为年促销费用 m(万元)的函数；(2)该厂家 2019 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大，并求出最大利润解析(1)由题意可知当 m0 时，x1，13k，k2，x32m1，每件产品的销售价格为 1.5816xx，2019 年的利润 yx1.5816xx(816xm)48xm4832m1 m16m1（m1）29(m0)(2)当 m0 时，16m1(m1)2 168，y82921，当且仅当 16m1m1，即 m3 时，ymax21.即该厂家 2019 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大利润为 21 万元方法技巧 利用基本不等
14、式解决实际问题的一般思路(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式；(2)把实际问题抽象成函数的最大值、最小值问题；(3)在定义域内，求函数的最大值、最小值时，一般先考虑用基本不等式；当用基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性(4)写出正确答案跟踪探究 3.(2019宜昌高一检测)如图，建立平面直角坐标系xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程 ykx 120(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)当 k2 时，求炮的射程；(2)求炮的最大射程；(
15、3)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解析：(1)k2，ykx 120(1k2)x2(k0)，可得：y2x14x2，令 y0，可得 x0，x8.炮的射程为 8 千米(2)在 ykx 120(1k2)x2(k0)中，令 y0，得 kx 120(1k2)x20.由实际意义和题设条件知 x0，k0.x 20k1k2 201kk202 10，当且仅当 k1 时取等号炮的最大射程是 10 千米(3)a0，炮弹可以击中目标等价于存在 k0，使 ka 120(1k2)a23.2 成立，即关于 k 的方程 a2k220a
16、ka2640 有正根由根与系数的关系满足两根之和大于 0，两根之积大于 0，故只需 400a24a2(a264)0，得 a6.此时，k20a（20a）24a2（a264）2a20.当 a 不超过 6 时，炮弹可以击中目标课后小结(1)利用基本不等式求最值时必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值(2)使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解(3)解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义素养培优忽略等号成立的条件致误设 x，y 为正数，求(xy)1x4y 的最小值易错分析 在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是一个题目中多次使用基本不等式时，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误自我纠正(xy)1x4y 14xyyx454xy yx524xy yx9，当且仅当 4xyyx，即 y2x 时等号成立.课时跟踪训练