1、第节椭圆 【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义及标准方程1、2、4、7、8椭圆的几何性质3、11直线与椭圆的位置关系5、6、9、10、11、12一、选择题1.已知ABC中,A、B的坐标分别为(2,0)和(-2,0),若三角形的周长为10,则顶点C的轨迹方程是(A)(A)+=1(y0)(B)+=1(x0)(C)+=1(y0)(D)+=1(x0)解析:点C到两个定点A、B的距离之和为6,64,故所求点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,其中2a=6,2c=4,则b2=5.所以顶点C的轨迹方程为+=1,又A、B、C三点不共线,即y0,故选A.2.(2012长沙调研)已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,
2、若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是(A)(A)+=1(B)+=1(C)+=1(D)+=1解析:依题意知,2a=18,a=9,又2c=2a,c=3,b2=a2-c2=81-9=72,椭圆方程为+=1.故选A.3.(2013成都十八中高三月考)已知椭圆+=1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BFx轴,直线AB交y轴于点P,若=2,则椭圆的离心率是(D)(A)(B)(C)(D)解析:由题意知OPBF,=2,|OA|=2|OF|,即a=2c,e=,故选D.4.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2,点M在该椭圆上,且=0,则点M到y轴的距离为(B)(
3、A)(B)(C)(D)解析:由题意,得F1(-,0),F2(,0).设M(x,y),则=(-x,-y)(-x,-y)=0,整理得x2+y2=3.又因为点M在椭圆上,故+y2=1,y2=1-.将代入,得x2=2,解得x=.故点M到y轴的距离为.故选B.5.已知椭圆E:+=1,对于任意实数k,下列直线被椭圆E截得的弦长与l:y=kx+1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是(D)(A)kx+y+k=0(B)kx-y-1=0(C)kx+y-k=0(D)kx+y-2=0解析:取k=1时,l:y=x+1.选项A中直线:y=-x-1与l关于x轴对称,截得弦长相等.选项B中直线:y=x-1与l关于原点对称,所截弦
4、长相等.选项C中直线:y=-x+1与l关于y轴对称,截得弦长相等.排除选项A、B、C,故选D.6.(2013宜宾高三检测)中心在原点,焦点坐标为(0,5)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为,则椭圆方程为(C)(A)+=1(B)+=1(C)+=1(D)+=1解析:设椭圆方程为+=1(ab0),则a2=b2+,由得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0,=,由可得a2=75,b2=25.椭圆方程为+=1.故选C.二、填空题7.设F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点距离为.解析:|OM|=3,|P
5、F2|=6,又|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=4.答案:48.(2013成都石室中学高三模拟)若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上任意一点,则的最大值为.解析:设P(x0,y0),由题意知F(-1,0),则=(x0,y0),=(x0+1,y0),=x0(x0+1)+,又+=1.=x0(x0+1)+3=(x0+2)2+2,x0-2,2,当x0=2时,取最大值6.答案:69.已知对kR,直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点,则实数m的取值范围是.解析:因为直线y-kx-1=0过定点(0,1),要使直线和椭圆恒有公共点,则该点在椭圆上或椭圆内,即+1,整理,得1,
6、解得m1.又方程+=1表示椭圆,所以m0且m5,综上m的取值范围为m1且m5.答案:m1且m5三、解答题10.设椭圆C:+=1(ab0)的离心率e=,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.解:(1)依题意知,2a=4,a=2.e=,c=,b=.所求椭圆C的方程为+=1.(2)点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),解得,x1=,y1=.3x1-4y1=-5x0.点P(x0,y0)在椭圆C:+=1上,-2x02,则-10-5
7、x010.3x1-4y1的取值范围为-10,10.11.(2013成都外国语学校高三月考)设椭圆C:+=1(ab0)的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60,=2.(1)求椭圆C的离心率;(2)如果|AB|=,求椭圆C的方程.解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y10.(1)直线l的方程为y=(x-c),其中c=.联立得(3a2+b2)y2+2b2cy-3b4=0,解得y1=,y2=,因为=2,所以-y1=2y2.即=2,得离心率e=.(2)因为|AB|=|y2-y1|,所以=.由=得b=a.所以a=,得a=3,b=.椭圆C的方程为+=1.12.
8、给定椭圆C:+=1(ab0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”.若椭圆C的一个焦点为F1(,0),其短轴上的一个端点到F1的距离为.(1)求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程;(2)若倾斜角为45的直线l与椭圆C只有一个公共点,且与椭圆C的伴随圆相交于M、N两点,求弦MN的长;(3)点P是椭圆C的伴随圆上的一个动点,过点P作直线l1、l2,使得l1、l2与椭圆C都只有一个公共点,求证:l1l2.(1)解:由题意得c=,a=,所以b=1.所以椭圆的方程为+y2=1.伴随圆的方程为x2+y2=4.(2)解:设直线l的方程y=x+m.由得4x2+6mx+3m2-3=0,由=(6m)2-16
9、(3m2-3)=0,得m2=4,则圆心到直线l的距离为d=,所以|MN|=2=2.(3)证明:当l1,l2中有一条无斜率时,不妨设l1无斜率.因为l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为x=或x=-,当l1方程为x=时,此时l1与伴随圆交于点(,1),(,-1),此时经过点(,1)(或(,-1)且与椭圆只有一个公共点的另一条直线是y=1(或y=-1),即l2为y=1(或y=-1),显然直线l1,l2垂直;同理可证l1方程为x=-时,直线l1,l2垂直.当l1,l2都有斜率时,设点P(x0,y0),其中+=4.设经过点P(x0,y0),与椭圆只有一个公共点的直线为y=k(x-x0)+y0.由消去y得到x2+3-3=0,即(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3-3=0, =-4(1+3k2)3-3=0,经过化简得到(3-)k2+2x0y0k+1-=0, 因为+=4,所以有(3-)k2+2x0y0k+(-3)=0.设l1,l2的斜率分别为k1,k2.因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点,所以k1,k2是关于k的方程:(3-)k2+2x0y0k+(-3)=0的两个实数根,因而得k1k2=-1,即l1l2.