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2022届高考数学大一轮基础复习之最新省市模拟精编(三十五)空间点、直线、平面之间的位置关系(含解析).doc

1、2022精编复习题(三十五)空间点、直线、平面之间的位置关系小题对点练点点落实对点练(一)平面的基本性质1四条线段顺次首尾相连,它们最多可确定的平面有()A4个B3个 C2个D1个解析:选A首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定四个平面2若直线上有两个点在平面外,则()A直线上至少有一个点在平面内B直线上有无穷多个点在平面内C直线上所有点都在平面外D直线上至多有一个点在平面内解析:选D根据题意,两点确定一条直线,那么由于直线上有两个点在平面外,则直线在平面外,只能是直线与平面相交,或者直线与平面平行,那么可知直线上至多有一个点在平面内3.如图,l,A,B,C,且Cl,直线A

2、BlM,过A,B,C三点的平面记作,则与的交线必经过()A点A B点BC点C但不过点M D点C和点M解析:选D因为AB,MAB,所以M.又l,Ml,所以M.根据公理3可知,M在与的交线上同理可知,点C也在与的交线上4.如图,平行六面体ABCD A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有_条解析:依题意,与AB和CC1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1平行有棱AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1.故符合条件的棱有5条答案:5对点练(二)空间两直线的位置关系1已知异面直线a,b分别在平面、内,且c,那么直线c一定()A与a、b都相交B只能与a、b中的一条相交C至

3、少与a、b中的一条相交D与a、b都平行解析:选C如果c与a、b都平行,那么由平行线的传递性知a、b平行,与异面矛盾故选C.2已知l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()Al1l2,l2l3l1l3Bl1l2,l2l3l1l3Cl1l2l3l1,l2,l3共面Dl1,l2,l3共点l1,l2,l3共面解析:选B在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故A错;两条平行直线中的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,B正确;相互平行的三条直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故C错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故D错3(2021兰州市高考实战模拟)

4、已知长方体ABCD A1B1C1D1中,AA1AB,AD1,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A.B. C.D.解析:选A如图,连接A1D,A1C1,由题易知B1CA1D,C1DA1是异面直线B1C与C1D所成的角,又AA1AB,AD1,A1D2,DC1,A1C12,由余弦定理,得cosC1DA1,故选A.4如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有_对解析:平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则AB,CD,EF和GH在原正方体中,显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行

5、故互为异面直线的有3对答案:35已知a,b,c为三条不同的直线,且a平面,b平面,c.若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交;若a不垂直于c,则a与b一定不垂直;若ab,则必有ac;若ab,ac,则必有.其中正确的命题有_(填写所有正确命题的序号)解析:中若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交,故正确;中平面平面时,若bc,则b平面,此时不论a,c是否垂直,均有ab,故错误;中当ab时,则a平面,由线面平行的性质定理可得ac,故正确;中若bc,则ab,ac时,a与平面不一定垂直,此时平面与平面也不一定垂直,故错误答案:6.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边A

6、B,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD上的点,且,则下列说法正确的是_(填写所有正确说法的序号)EF与GH平行;EF与GH异面;EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上;EF与GH的交点M一定在直线AC上解析:连接EH,FG(图略),依题意,可得EHBD,FGBD,故EHFG,所以E,F,G,H共面因为EHBD,FGBD,故EHFG,所以EFGH是梯形,EF与GH必相交,设交点为M.因为点M在EF上,故点M在平面ACB上同理,点M在平面ACD上,点M是平面ACB与平面ACD的交点,又AC是这两个平面的交线,所以点M一定在直线AC上答案:7(2021武汉调研)在正四面体ABC

7、D中,M,N分别是BC和DA的中点,则异面直线MN和CD所成角的余弦值为_解析:取AC的中点E,连接NE,ME,由E,N分别为AC,AD的中点,知NECD,故MN与CD所成的角即MN与NE的夹角,即MNE.设正四面体的棱长为2,可得NE1,ME1,MN,故cosMNE.答案:8如图,在三棱锥ABCD中,ABACBDCD3,ADBC2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是_解析:如图所示,连接DN,取线段DN的中点K,连接MK,CK.M为AD的中点,MKAN,KMC(或其补角)为异面直线AN,CM所成的角ABACBDCD3,ADBC2,N为BC的中点,由勾股定理

8、易求得ANDNCM2,MK.在RtCKN中,CK .在CKM中,由余弦定理,得cosKMC,所以异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.答案:大题综合练迁移贯通1.如图所示,A是BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若ACBD,ACBD,求EF与BD所成的角解:(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)取CD的中点G,连接EG,FG,则ACFG,EGBD,所以相交直线EF与EG所成的角,

9、即为异面直线EF与BD所成的角又因为ACBD,则FGEG.在RtEGF中,由EGFGAC,求得FEG45,即异面直线EF与BD所成的角为45.2.如图,在三棱锥PABC中,PA底面ABC,D是PC的中点已知BAC,AB2,AC2,PA2.求:(1)三棱锥PABC的体积;(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解:(1)SABC222,三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则EDBC,所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中,DE2,AE,AD2,cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.3.如图所示,三棱柱ABC A1

10、B1C1,底面是边长为2的正三角形,侧棱A1A底面ABC,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC2FB2.(1)当点M在何位置时,BM平面AEF?(2)若BM平面AEF,判断BM与EF的位置关系,说明理由;并求BM与EF所成的角的余弦值解:(1)法一:如图所示,取AE的中点O,连接OF,过点O作OMAC于点M.因为侧棱A1A底面ABC,所以侧面A1ACC1底面ABC.又因为EC2FB2,所以OMFBEC且OMECFB,所以四边形OMBF为矩形,BMOF.因为OF平面AEF,BM平面AEF,故BM平面AEF,此时点M为AC的中点法二:如图所示,取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ,PB,BQ.因为EC2FB2,所以PE綊BF,所以PQAE,PBEF,所以PQ平面AFE,PB平面AEF,因为PBPQP,PB,PQ 平面PBQ,所以平面PBQ平面AEF.又因为BQ平面PBQ,所以BQ平面AEF.故点Q即为所求的点M,此时点M为AC的中点(2)由(1)知,BM与EF异面,OFE(或MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角易求AFEF,MBOF,OFAE,所以cosOFE,所以BM与EF所成的角的余弦值为.

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