1、第4讲圆锥曲线中的综合问题 圆与圆锥曲线的综合问题训练提示:充分挖掘题目条件,寻找圆心与圆锥曲线焦点的位置关系,圆的半径与给定线段长度之间的关系,充分利用“圆的直径所对圆周角为直角”等性质解决问题.1.已知圆心为F1的圆的方程为(x+2)2+y2=32,F2(2,0),C是圆F1上的动点,F2C的垂直平分线交F1C于M.(1)求动点M的轨迹方程;(2)设N(0,2),过点P(-1,-2)作直线l,交M的轨迹于不同于N的A,B两点,直线NA,NB的斜率分别为k1,k2,证明:k1+k2为定值.(1)解:由线段的垂直平分线的性质得|MF2|=|MC|.又|F1C|=4,所以|MF1|+|MC|=4
2、,所以|MF2|+|MF1|=44.所以M点的轨迹是以F1,F2为焦点,以4为长轴长的椭圆.由c=2,a=2得b=2.故动点M的轨迹方程为+=1.(2)证明:当直线l的斜率存在时,设其方程为y+2=k(x+1),由得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.从而k1+k2=+=2k-(k-4)=4.当直线l的斜率不存在时,得A(-1,),B(-1,-),得k1+k2=4.综上,恒有k1+k2=4.2.设椭圆M:+=1(a)的右焦点为F1,直线l:x=与x轴交于点A,若=2(其中O为坐标原点).(1)求椭圆M的方程
3、;(2)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任意一条直径(E,F为直径的两个端点),求的最大值.解:(1)由题设知,A(,0),F1(,0),由=2.得=2(-),解得a2=6.所以椭圆M的方程为+=1.(2)设圆N:x2+(y-2)2=1的圆心为N,则=(-)(-)=(-)(-)=-=-1.从而求的最大值转化为求的最大值.因为P是椭圆M上的任意一点,设P(x0,y0),所以+=1,即=6-3,因为点N(0,2),所以=+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12.因为y0-,所以当y0=-1时,取得最大值12.所以的最大值为11.圆锥曲线中的定点、定值问题训练提示:由
4、直线方程确定定点,若得到直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).证明定值,有时可直接证明定值,有时将问题转化为代数式,可证明该代数式与参数(某些变量)无关;也可令系数等于零,得出定值.3.如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p0)上.(1)求抛物线E的方程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.(1)解:依题意,|OB|=8,BOy=30.设B(x,y),则x=|OB|sin 30=4,y=|O
5、B|cos 30=12.因为点B(4,12)在x2=2py上,所以(4)2=2p12,解得p=2.故抛物线E的方程为x2=4y.(2)证明:由(1)知y=x2,y=x.设P(x0,y0),则x00,且l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.由得所以Q(,-1).设M(0,y1),令=0对满足y0=(x00)的x0,y0恒成立.由于=(x0,y0-y1),=(,-1-y1),由=0,得-y0-y0y1+y1+=0,即(+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)由于(*)式对满足y0=(x00)的y0恒成立,所以解得y1=1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).4.已知直
6、线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:+=1(ab0)的离心率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.(1)求椭圆E的方程;(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率,求证两切线斜率之积为定值.解:(1)设椭圆半焦距为c,圆心O到l的距离d=,则l被圆O截得的弦长为2,所以b=.由题意得又b=,所以a2=3,b2=2.所以椭圆E的方程为+=1.(2)证明:设点P(x0,y0),过点P的椭圆E的切线l0的方程为y-y0=k(x-x0),整理得y=kx+y0-kx0,联立直线l0与椭圆E的方程得消去y得2kx+(y0-kx0)2+3x2-6=0,整理得(3+2k2
7、)x2+4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0)2-6=0,因为l0与椭圆E相切,所以=4k(y0-kx0)2-4(3+2k2)2(kx0-y0)2-6=0,整理得(2-)k2+2x0y0k-(-3)=0,设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1k2=-.因为点P在圆O上,所以+=5,所以k1k2=-=-1.所以两条切线斜率之积为常数-1.圆锥曲线中的存在性问题训练提示:存在性问题,先假设存在,进行一系列推理,若推理正确则存在,若得出矛盾则不存在.5.已知椭圆C:+=1(ab0)的右焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为,O为坐标原点.(1)求椭圆
8、C的方程;(2)设椭圆的上顶点为N,是否存在直线l交椭圆于P,Q两点,使点F为PQN的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)设F(c,0),则=,知a=c.过点F且与x轴垂直的直线方程为x=c,代入椭圆方程,有+=1,解得y=b.于是b=,解得b=1.又a2-c2=b2,从而a=,c=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点,且F为PQN的垂心.设P(x1,y1),Q(x2,y2),因为N(0,1),F(1,0),所以kNF=-1.由NFPQ,知kPQ=1.设直线l的方程为y=x+m,由得3x2+4mx+2m2-2=0.由0,得m2b0
9、)上,H(-2,0)是M在x轴上的射影.F1是椭圆G的左焦点,且=(O为坐标原点),=.(1)求椭圆G的方程;(2)在x轴上是否存在定点P0,过P0任意作直线l交椭圆G于A,B两点,使得直线HM始终平分AHB?若存在,则求出P0;若不存在,请说明理由.解:(1)依题可设M(-2,y0),由=得F1为HO的中点,于是F1(-1,0),又由=得(0,-y0)(1,-y0)=,解得=,于是有+=1,整理得5a4-29a2+20=(5a2-4)(a2-5)=0,解得a2=5或a2=(舍去).所以椭圆G的方程是+=1.(2)设P0(m,0),A(x1,y1),B(x2,y2),若直线l的斜率不等于零时,
10、可设直线l为x=ty+m,联立+=1,消去x得(4t2+5)y2+8mty+4m2-20=0,有y1+y2=,y1y2=,注意到HM平分AHBkAH=,kBH=满足kAH+kBH=0,即+=0y1(x2+2)+y2(x1+2)=0y1(ty2+m+2)+y2(ty1+m+2)=2ty1y2+(m+2)(y1+y2)=02t+(m+2)=0t(2m+5)=0,故m=-,定点P0(-,0).若直线l的斜率为零,定点P0(-,0)也满足条件,故定点P0(-,0)为所求. 类型一:圆锥曲线中的最值(范围)问题1.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y=-3上,M点满足,=,M点的
11、轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)P为C上的动点,l为C在P点处的切线,求O点到l距离的最小值.解:(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),又A(0,-1),所以=(-x,-1-y),=(0,-3-y),=(x,-2).再由题意可知(+)=0,即(-x,-4-2y)(x,-2)=0.所以曲线C的方程为y=x2-2.(2)设P(x0,y0)为曲线C:y=x2-2上一点.因为y=x,所以l的斜率为x0.因此直线l的方程为y-y0=x0(x-x0),即x0x-2y+2y0-=0.所以O点到l的距离d=.又y0=-2,所以d=(+)2.当x0=0时取等号,所以O点到l距离的最小值为2.2.(
12、2015云南模拟)如图,已知椭圆E:+=1(ab0)的离心率为,且过点(2,),四边形ABCD的顶点在椭圆E上,且对角线AC,BD过原点O, kACkBD=-.求的取值范围.解:所以椭圆E的方程为+=1.当直线AB的斜率存在时,设lAB:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,所以x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2()+km()+m2=.由kOAkOB=-得=-.所以=-m2=4k2+2,=x1x2+y1y2=+=2-,所以-20,x1+x2=,x1x2=,S四边形ACBD=|AB|x2-x1|=.当
13、且仅当2|m|=,即m=时等号成立,此时四边形ABCD面积的最大值为,n=,经检验可知,直线y=x-和直线y=-x+符合题意.4.如图,过x轴上动点A(a,0)引抛物线y=x2+1的两条切线AP,AQ.切线斜率分别为k1和k2,切点分别为P,Q.(1)求证:k1k2为定值,并且直线PQ过定点;(2)记APQ的面积为SAPQ,当最小时,求的值.(1)证明:设过A点的直线为y=k(x-a),与抛物线联立得整理得x2-kx+ka+1=0,=k2-4ak-4=0,所以k1+k2=4a,k1k2=-4为定值.抛物线方程y=x2+1,求导得y=2x,设切点P,Q的坐标分别为(xp,yp),(xq,yq),
14、则k1=2xp,k2=2xq,所以xp+xq=+=2a,xpxq=-1.直线PQ的方程:y-yp=(x-xp),由yp=+1,yq=+1,得到y=(xp+xq)x-xpxq+1,整理可得y=2ax+2,所以直线PQ过定点(0,2).(2)解:设A到PQ的距离为d.SAPQ=|PQ|,所以=,设t=1,所以=(t+),当且仅当t=时取等号,此时a=.因为=(xp-a,yp)(xq-a,yq)=xpxq-a(xp+xq)+a2+ypyq,ypyq=(2xpa+2)(2xqa+2)=4a2xpxq+4+4a(xp+xq)=4a2+4,所以=3a2+3=.类型二:证明问题5.如图,已知点A(1,)是离
15、心率为的椭圆C:+=1(ab0)上的一点,斜率为的直线BD交椭圆C于B,D两点,且A,B,D三点互不重合.(1)求椭圆C的方程;(2)求证:直线AB,AD的斜率之和为定值.(1)解:由题意,可得e=,将(1,)代入椭圆方程,得+=1,又a2=b2+c2,解得a=2,b=,c=.所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:设直线BD的方程为y=x+m,又A,B,D三点不重合,所以m0,设D(x1,y1),B(x2,y2),由得4x2+2mx+m2-4=0.所以=-8m2+640-2m2.x1+x2=-m,x1x2=,设直线AB,AD的斜率分别为kAB,kAD,则kAD+kAB=+=+=2+m(*)将、
16、式代入(*),整理得2+m=2-2=0,所以kAD+kAB=0,即直线AB,AD的斜率之和为定值0.6.已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mR).(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于B的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G,求证:A,G,N三点共线.解:(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆,当且仅当解得m0,即k2.设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=kx1+4,y2=kx2+4,x1+x2=,x1x2=.直线BM的方程为y+2=x,点G的坐标为(,1).因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN=,kAG=-,所以kAN-kAG=+=+=k+=k+=0.即kAN=kAG.故A,G,N三点共线.