1、2022精编复习题（三十二） 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题小题对点练点点落实对点练(一)二元一次不等式(组)表示的平面区域1(2021青岛月考)若实数x，y满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是()A3BC2D2解析：选C因为直线xy1与xy1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，故|AB|，|AC|2，所以其面积为|AB|AC|2.2在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是()A(，1)B(1，)C(1,1)D(，1)(1，)解析：选A易知直线yk(x1)1过定点(1，1)，画出不等式组表
2、示的可行域示意图，如图所示当直线yk(x1)1位于yx和x1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域所以直线yk(x1)1 的斜率的范围为(，1)，即实数k的取值范围是(，1)3(2021山西临汾一中月考)不等式y(xy2)0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是()解析：选C由y(xy2)0，得或所以不等式y(xy2)0在平面直角坐标系中表示的区域是C项4(2021河北卓越联盟联考)已知点(3，1)和(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则实数a的取值范围为()A(7,24)B(，7)(24，)C(24,7)D(，24)(7，)解析：选A由题意可知(92a)(1212a)0，所以(a7
3、)(a24)0，所以7a0，即k0，即m0，且满足kCDkkAD.由解得即C(2,1)，CD的斜率kCD.由解得即A(2,4)，AD的斜率kAD，即k，则，解得3m，故选D.对点练(二)简单的线性规划问题1(2021河南八市重点高中联考)已知ABC中，A(1,1)，B(1,3)，C(1，2)，若点(x，y)在三角形内部(不包含边界)，则z2xy的取值范围是()A(，1)B(1,1)C(2，1)D(1，)解析：选C如图，画出三角形ABC，其内部即为可行域当直线y2xz经过点B时，zmax231，经过点C时，zmin2(1)22.故选C.2(2021河南郑州二模)若实数x，y满足且z2xy的最小值
4、为4，则实数b的值为()A1B2 C.D3解析：选D作出不等式组表示的平面区域如图阴影所示，由图可知z2xy在点A处取得最小值，且由解得A(1,2)又由题意可知A在直线yxb上，21b，解得b3，故选D.3(2021山东泰安检测)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，已知点A(1,2)，则直线AM斜率的最小值为()AB2 C0D解析：选B作出不等式组对应的平面区域如图四边形OBCD及其内部，其中B(2,0)，C(4,6)，D(0,2)点A(1,2)，当M位于O时，AM的斜率最小此时AM的斜率k2，故选B.4(2021四川南充高中模拟)若实数x，y满足约束条件则z的最大值为
5、_解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示z的几何意义是可行域内的点与点D(1,0)连线的斜率，由图象知直线AD的斜率最大由得所以A(1,3)，此时z，即为要求的最大值答案：5(2021湖北黄石模拟)已知变量x，y满足约束条件则zx2y的最大值为_解析：作出不等式组表示的可行域如图所示，因为目标函数y的斜率小于yx1的斜率，所以目标函数在点A(1,0)时，纵截距取到最小值，此时z取到最大值为z101.答案：16(2021吉林省吉林市普通高中调研)已知O是坐标原点，点A(1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是_解析：由题中的线性约束条件作出可行域，如图其中C(0,2)
6、，B(1,1)，D(1,2)由zxy，得yxz.由图可知，当直线yxz分别过点C和B时，z分别取得最大值2和最小值0，所以的取值范围为0,2答案：0,2对点练(三)线性规划的实际应用1(2021江西上饶模拟)甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖奖品所用原料完全相同， 但工艺不同，故价格有所差异甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵两厂具体收费如下表所示，则组委会定做奖品的费用最低为_元.奖品工厂一等奖奖品二等奖奖品甲500400乙800600解析：设甲厂生产一等奖奖品x件，二等奖奖品
7、y件，x，yN，则乙厂生产一等奖奖品3x件，二等奖奖品6y件由题意得x和y满足设所需费用为z元，则z500x400y800(3x)600(6y)300x200y6 000.作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分的整点所示平移直线300x200y0，即yx，由图知当直线z300x200y6 000，即yx30经过点A时，直线的纵截距最大，z最小由解得即A(3,1)，满足xN，yN，所以组委会定做奖品的费用最低为z30032006 0004 900，故由甲厂生产一等奖奖品3件，二等奖奖品1件，其余都由乙厂生产，所需费用最低，最低费用为4 900元答案：4 9002A，B两种规格的产品需要在甲、乙
8、两台机器上各自加工一道工序才能成为成品已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是_元解析：设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件生产利润为z300x400y.作出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z300x400y在点M或其附近的整数点处取得最大值，由方程组解得则zmax 300340021 700.故最大利润是1 700元答案：1 700大题综
9、合练迁移贯通1已知D是以点A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)如图所示(1)写出表示区域D的不等式组(2)设点B(1，6)，C(3,2)在直线4x3ya0的异侧，求a的取值范围解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x5y230，x7y110,4xy100.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，解得18a14.故a的取值范围是(18,14)2若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)若目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围解
10、：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直线xy0，可知zxy，过A(3,4)时取最小值2，过C(1,0)时取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为2.(2)直线ax2yz仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知12，解得4a2.故所求a的取值范围为(4,2)3(2016天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料 ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为
11、2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分(2)设利润为z万元，则目标函数为z2x3y.考虑z2x3y，将它变形为yx，它的图象是斜率为，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大根据x，y满足的约束条件，由图可知，当直线z2x3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得点M的坐标为(20,24)，所以zmax220324112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元