1、1.6三角函数模型的简单应用【课时目标】1.会解三角形和利用三角形建立数学模型，解决实际问题.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型【知识梳理】1三角函数的周期性yAsin(x) (0)的周期是T_；yAcos(x) (0)的周期是T_；yAtan(x) (0)的周期是T_.2函数yAsin(x)k (A0，0)的性质(1)ymax_，ymin_.(2)A_，k_.(3)可由_确定，其中周期T可观察图象获得(4)由x1_，x2_，x3_，x4_，x5_中的一个确定的值3三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中_现象的一种数学模型，可以用来研究很
2、多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用【作业反馈】一、选择题1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A. s B. s C50 s D100 s2据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)Asin(x)b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()Af(x)2sin7(1x12，xN*)Bf(x)9sin(1x12，xN*)Cf(x)2sinx7(1x12，xN*)Df
3、(x)2sin7(1x12，xN*)3若函数f(x)3sin(x)对任意x都有ff，则f等于()A3或0 B3或0C0 D3或34. 如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数df(l)的图象大致是()5设yf(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0t24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数yf(t)的图象可以近似地看成函数ykAsin(t)的图象下面的
4、函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是()Ay123sin t，t0,24By123sin，t0,24Cy123sin t，t0,24Dy123sin，t0,24题号12345答案二、填空题6函数y2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是_7设某人的血压满足函数式p(t)11525sin(160t)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是_8一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式时s3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于_三、解答题9. 如图
5、，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？10某港口水深y(米)是时间t (0t24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型yAsin tB的图象(1)试根据数据表和曲线，求出yAsin tB的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船
6、底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)能力提升11如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()12某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d_，其中t0,60.【归纳总结】1三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型三角函数模型在
7、研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用2三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合(3)利用三角函数模型解决实际问题(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验1.6三角函数模型的简单应用答案【知识梳理】1.2(1)AkAk(2)(3)(4)023周期【作业反馈】1A2.A3D因为ff，所以直线x是函数f(x)图象的对称轴所以f3sin3sin3.因此选D.4Cdf(l)2sin .5A在给定的四个选项A、B、C、D中，我们不妨代入t0及t3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.626,
8、27,28解析T，又，8m9，且mZ，m26,27,28.780解析T(分)，f80(次/分)8.解析T1. 2.l.9解(1)如图所示建立直角坐标系，设角是以Ox为始边，OP0为终边的角OP每秒钟内所转过的角为.由OP在时间t(s)内所转过的角为tt.由题意可知水轮逆时针转动，得z4sin2.当t0时，z0，得sin ，即.故所求的函数关系式为z4sin2.(2)令z4sin26，得sin1，令t，得t4，故点P第一次到达最高点大约需要4 s.10解(1)从拟合的曲线可知，函数yAsin tB的一个周期为12小时，因此.又ymin7，ymax13，A(ymaxymin)3，B(ymaxymi
9、n)10.函数的解析式为y3sint10 (0t24)(2)由题意，水深y4.57，即y3sint1011.5，t0,24，sint，t，k0,1，t1,5或t13,17，所以，该船在100至500或1300至1700能安全进港若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时11CP0(，)，P0Ox.按逆时针转时间t后得POP0t，POxt，此时P点纵坐标为2sin(t)，d2|sin(t)|.当t0时，d，排除A、D；当t时，d0，排除B.1210sin 解析将解析式可写为dAsin(t)形式，由题意易知A10，当t0时，d0，得0；当t30时，d10，可得，所以d10sin .